Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 183 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теория и примеры 183
Пример 8. Пусть ξ, η — независимые случайные вели-
чины с дисперсиями σ
2
1
и σ
2
2
соответственно. Найти коэффициент
корреляции между случайными величинами ζ = ξ +η и τ = ξ −η.
Решение. В силу независимости ξ, η
D ζ = D ξ + D η = σ
2
1
+ σ
2
2
,
D τ = D ξ + D(−η) = D ξ + D η = σ
2
1
+ σ
2
2
.
Если обозначить через µ
U
среднее значение с.в. U, тогда
µ
ζ
= µ
ξ
+ µ
η
, µ
τ
= µ
ξ
− µ
η
,
а коэффициент ковариации между с.в. ζ, τ равен
E(ζ −µ
ζ
)(τ − µ
τ
) = E
£
(ξ − µ
ξ
) + (η − µ
η
)
¤£
(ξ − µ
ξ
) − (η − µ
η
)
¤
=
= E(ξ − µ
ξ
)
2
− E(η − µ
η
)
2
= D ξ − D η =
= σ
2
1
− σ
2
2
.
Таким образом, искомый коэффициент корреляции равен
ρ =
σ
2
1
− σ
2
2
p
(σ
2
1
+ σ
2
2
)(σ
2
1
+ σ
2
2
)
=
σ
2
1
− σ
2
2
σ
2
1
+ σ
2
2
.
Следствие. Независимые с.в. ξ, η имеют одинаковые диспер-
сии тогда и только тогда, когда с.в ξ + η, ξ − η не коррелируют.
                         Теория и примеры                        183




   Пример 8.       Пусть ξ, η — независимые случайные вели-
чины с дисперсиями σ12 и σ22 соответственно. Найти коэффициент
корреляции между случайными величинами ζ = ξ +η и τ = ξ −η.
   Решение. В силу независимости ξ, η

           D ζ = D ξ + D η = σ12 + σ22,
           D τ = D ξ + D(−η) = D ξ + D η = σ12 + σ22.

   Если обозначить через µU среднее значение с.в. U, тогда
                    µζ = µξ + µη , µ τ = µξ − µη ,
а коэффициент ковариации между с.в. ζ, τ равен
                         £                   ¤£                    ¤
E(ζ − µζ )(τ − µτ ) = E (ξ − µξ ) + (η − µη ) (ξ − µξ ) − (η − µη ) =
                   = E(ξ − µξ )2 − E(η − µη )2 = D ξ − D η =
                   = σ12 − σ22.

Таким образом, искомый коэффициент корреляции равен
                          σ12 − σ22     σ12 − σ22
               ρ=p 2                   = 2      2.
                         2    2    2
                  (σ1 + σ2 )(σ1 + σ2 )  σ 1 + σ 2


   Следствие. Независимые с.в. ξ, η имеют одинаковые диспер-
сии тогда и только тогда, когда с.в ξ + η, ξ − η не коррелируют.

Страницы