Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 185 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Задачи 185
ii) вектор (ξ, η) имеет нормальное распределение с плотно-
стью
1
2
π
p
1 − ρ
2
exp{−
1
2(1 − ρ
2
)
(x
2
− 2ρxy + y
2
)}, (x, y) ∈ R
2
.
21. Доказать свойства дисперсии 1), 3), 4).
22. Доказать, что наилучший прогноз значения с.в. ξ с по-
мощью константы равен (при условии существования соответству-
ющих моментов)
i) ее среднему µ , если ошибка прогноза вычисляется как
среднеквадратическое отклонение:
min
a
E(ξ − a)
2
= E(ξ − µ)
2
= D ξ;
ii) ее медиане m , если ошибка прогноза вычисляется как
среднее абсолютное отклонение:
min
a
E |ξ − a| = E |ξ − m|.
Подсказка. i) (ξ − a) = ((ξ − µ) + (µ − a)).
ii) Для случая a > m записать разность |ξ −a|−|ξ −m| через
индикаторные функции событий {ξ > a}, {ξ ∈ [m; a)}, {ξ < m};
воспользоваться тем, что E(I
A
) = P {A}.
23. Найти моду всех табличных распределений (с. 146).
24. Пусть ξ — положительная дискретная с.в. с конечным
носителем X = hx
1
< . . . < x
k
i. Доказать, что
lim
n→∞
n
p
E ξ
n
= max X = x
k
.
25. Функция распределения ξ равна F (x) = 1 −
1
/
x
3
, x > 1.
Найти м.о., дисперсию, моду и медиану с.в. ξ и
1
/
ξ
.
26. Случайная величина ξ v Pasc(p, S) имеет распределение
Паскаля (время ожидания S -го успеха). Показать, что E ξ =
S
/
p
.
                                  Задачи                          185


       ii)   вектор (ξ, η) имеет нормальное распределение с плотно-
стью
           p1                  1
                     exp{− 2(1 −      2          2
                                  2 (x − 2ρxy + y )},   (x, y) ∈ R 2.
        2 π 1 − ρ2               ρ)

   21. Доказать свойства дисперсии 1), 3), 4).
   22. Доказать, что наилучший прогноз значения с.в. ξ с по-
мощью константы равен (при условии существования соответству-
ющих моментов)
        ее среднему µ , если ошибка прогноза вычисляется как
       i)
среднеквадратическое отклонение:
                     min E(ξ − a)2 = E(ξ − µ)2 = D ξ;
                      a

        ее медиане m , если ошибка прогноза вычисляется как
       ii)
среднее абсолютное отклонение:
                          min E |ξ − a| = E |ξ − m|.
                           a

   Подсказка.        i) (ξ − a) = ((ξ − µ) + (µ − a)).
    ii) Для случая a > m записать разность |ξ − a| − |ξ − m| через
индикаторные функции событий {ξ > a}, {ξ ∈ [m; a)}, {ξ < m};
воспользоваться тем, что E(IA) = P {A} .
   23. Найти моду всех табличных распределений (с. 146).
   24. Пусть ξ — положительная дискретная с.в. с конечным
носителем X = hx1 < . . . < xk i. Доказать, что
                        p
                  lim n E ξ n = max X = xk .
                          n→∞

   25. Функция распределения ξ равна F (x) = 1 − 1/x3 , x > 1.
Найти м.о., дисперсию, моду и медиану с.в. ξ и 1/ξ .
   26. Случайная величина ξ v Pasc(p, S) имеет распределение
Паскаля (время ожидания S -го успеха). Показать, что E ξ = S/p .

Страницы