Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 187 стр.

                             Задачи                             187


прошедшее проверку, но не удовлетворяющее стандарту, платит
штраф b руб.; за изделие, не прошедшее проверку (забракован-
ное), платит штраф c руб. Найти м.о. прибыли, полученной за
партию из N изделий.
    34. Пусть ξ1, . . . , ξ4 — независимые бернуллиевские с.в.
Bern(p). Положим ηi = 0, если ξi + ξi+1 число четное, и ηi = 1,
если ξi + ξi+1 = 1. Найти м.о. и дисперсию суммы ζ = η1 + η2 + η3.
    35. У большого числа N людей проводится исследование кро-
ви на предмет наличия вирусного заболевания. Количество анали-
зов можно сильно сократить следующим приемом.
    Сначала случайным образом формируется m групп по k че-
ловек в каждой группе. Кровь людей одной группы смешивается,
и полученная смесь анализируется. Если результат анализа отри-
цателен, то все люди в этой группе считаются здоровыми. Если же
он положителен, то кровь каждого исследуется затем отдельно. В
целом в группе проводится 1 или k + 1 анализ. Предполагается,
что вероятность положительного результата p одна и та же для
всех людей и что результаты анализов независимы в теоретико-
вероятностном смысле.
    (a) Чему равна вероятность того, что анализ смешанной крови
k людей положителен?
    (b) Чему равно м.о. числа анализов ν?
    (c) Во сколько раз уменьшится среднее число проведенных ана-
лизов (по сравнению с N ), если p = 1/20 и k = 5?
    36. Скорость молекул в газе V описывается законом Максвел-
                                                           2 2
ла, плотность вероятностей которого равна f (v) = C v 2 e−v /b , v >
0, где параметр b > 0 характеризует состояние системы. Найти
константу C, а также
     i) м.о. E V и дисперсию D V ;
    ii) моду и медиану (приблизительно).