Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 188 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

188 Т е м а VII. Числовые характеристики случайных величин
37. С.в. ϕ v U[0, 2π], ξ = cos ϕ, η = sin ϕ. Найти коэффи-
циент корреляции ρ(ξ, η). Являются ли ξ и η независимыми?
Не вычисляя, найти коэффициент ρ(ξ
2
, η
2
).
38. Пусть с.в. ξ v U[0; 1]. Определим семейство с.в. (процесс)
η
t
= I(ξ < t), t ∈ [0; 1].
Чему равен коэффициент Corr(η
t
, η
u
) при t < u ?
39. Сосиска разрезается в случайном месте.
(a) Считая, что сосиска — однородный цилиндр, найти отно-
шение средней массы наименьшей порции к средней массе наиболь-
шей порции.
(b) Найти среднее отношение этих масс.
40.
>
Дайте ответы на вопросы предыдущей задачи, если со-
сиска делится случайным образом на три части.
41. Случайная точка (ξ, η) имеет равномерное распределение
в круге радиуса R ; ϑ — расстояние от точки (ξ, η) до центра
круга. Найти м.о. и дисперсию ϑ.
42. С.в. ξ v U[−1; 1]. Найти
i) Corr(ξ, ξ
2
) ; ii) Corr
³
sin
³
π
ξ
4
´
, cos
³
π
ξ
4
´´
;
iii) Corr(ξ, |ξ|); iv) Corr
³
sin
2
³
π
ξ
4
´
, cos
2
³
π
ξ
4
´´
.
43. Диаметр круга d измерен приближенно. Найти м.о. и дис-
персию значения площади круга, если ошибка измерения имеет
равномерное распределение U[d − ∆; d + ∆] с некоторым ∆ > 0.
44. Пусть ξ v N(0, σ
2
), найти E |ξ|
p
для целых p > 1.
45. Найти стандартное отклонение произведения ξη незави-
симых равномерно распределенных с.в.: ξ v U[0, 1], η v U[1, 3].
188             Тема    VII. Числовые характеристики случайных величин


   37. С.в. ϕ v U[0, 2π], ξ = cos ϕ, η = sin ϕ. Найти коэффи-
циент корреляции ρ(ξ, η). Являются ли ξ и η независимыми?
Не вычисляя, найти коэффициент ρ(ξ 2, η 2).
      38. Пусть с.в. ξ v U[0; 1]. Определим семейство с.в. (процесс)

                             ηt = I(ξ < t),   t ∈ [0; 1].

Чему равен коэффициент Corr(ηt, ηu) при t < u ?
   39. Сосиска разрезается в случайном месте.
   (a) Считая, что сосиска — однородный цилиндр, найти отно-
шение средней массы наименьшей порции к средней массе наиболь-
шей порции.
   (b) Найти среднее отношение этих масс.
    40.> Дайте ответы на вопросы предыдущей задачи, если со-
сиска делится случайным образом на три части.
   41. Случайная точка (ξ, η) имеет равномерное распределение
в круге радиуса R ; ϑ — расстояние от точки (ξ, η) до центра
круга. Найти м.о. и дисперсию ϑ.
      42. С.в. ξ v U[−1; 1]. Найти
                                              ³ ³          ´       ³      ´´
         i)              2
               Corr(ξ, ξ ) ;          ii) Corr sin
                                                      π ξ
                                                             , cos 4  π ξ
                                                                              ;
                                                       4
                                              ³      ³      ´         ³      ´´
        iii)   Corr(ξ, |ξ|);          iv) Corr sin 2    π ξ
                                                               , cos2    π ξ
                                                                                .
                                                         4                4
   43. Диаметр круга d измерен приближенно. Найти м.о. и дис-
персию значения площади круга, если ошибка измерения имеет
равномерное распределение U[d − ∆; d + ∆] с некоторым ∆ > 0.
      44. Пусть ξ v N(0, σ 2), найти E |ξ|p для целых p > 1.
   45. Найти стандартное отклонение произведения ξη незави-
симых равномерно распределенных с.в.: ξ v U[0, 1], η v U[1, 3].

Страницы