Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 190 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

190 Т е м а VII. Числовые характеристики случайных величин
(a) Найти коэффициент корреляции ρ(αξ + βη, αξ − βη).
(b) Показать, что E max(ξ, η) = µ + σ
p
2
/
π
.
57. Пусть ρ
jk
= Corr(ξ
j
, ξ
k
), причем ρ
12
= ρ
34
= −
1
/
2
и все
дисперсии D ξ
j
= 1. Найти коэффициент Corr(ξ
1
+ ξ
2
, ξ
3
+ ξ
4
).
58.
>
Случайные величины ξ
1
, ξ
2
, . . . независимы и распреде-
лены U[0; 1]. Пусть ν — с.в., равная тому k, при котором впервые
сумма S
k
= ξ
1
+ . . . + ξ
k
превосходит 1. Доказать, что E ν = e.
59. Пусть с.в. ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
v U[0; 1] и независимы. Найти м.о. ми-
нимальной ξ
(1)
, максимальной ξ
(3)
и серединной ξ
(2)
точек.
60. С.в. ξ (> 0) имеет логарифмически нормальное распреде-
ление, если ln ξ v N(m, σ
2
). Найти E ξ и D ξ.
61.
>
Пусть с.в. ξ
1
, . . . , ξ
n
независимы и ξ
k
v U(0, θ), θ >
0, ∀k = 1, n. В качестве оценки параметра θ можно взять
˜
θ
1
=
2
n
n
P
i=1
ξ
i
или
˜
θ
2
=
n + 1
n
max
16i6n
ξ
i
.
Доказать, что:
i) эти оценки несмещенные, т.е. E
˜
θ
1
= E
˜
θ
2
= θ;
ii) оценка
˜
θ
2
эффективнее
˜
θ
1
, т.е. D
˜
θ
2
< D
˜
θ
1
.
Подсказка. Найти сначала ф.р. ξ
(n)
= max
16i6n
ξ
i
.
62. Доказать, что для любой с.в. ξ с E ξ
4
< ∞
i) E ξ
4
> (E ξ
2
)
2
> (E ξ)
4
;
ii) если E ξ = 0, D ξ = 1, то E ξ
4
>
¡
E ξ
3
¢
2
+ 1.
63.
>
Пусть ξ — неотрицательная случайная величина с конеч-
ным м.о. и F (x) — ее функция распределения. Доказать, что:
i) если ξ — целочисленная с.в. ( ξ ∈ h0, 1, 2, . . . i), то
E ξ =
∞
P
k=1
(1 − F (k));
 190             Тема      VII. Числовые характеристики случайных величин


       (a) Найти коэффициент корреляции ρ(αξp + βη, αξ − βη).
       (b) Показать, что E max(ξ, η) = µ + σ 2/π .
   57. Пусть ρjk = Corr(ξj , ξk ), причем ρ12 = ρ34 = − 1/2 и все
дисперсии D ξj = 1. Найти коэффициент Corr(ξ1 + ξ2, ξ3 + ξ4).
   58.> Случайные величины ξ1, ξ2, . . . независимы и распреде-
лены U[0; 1]. Пусть ν — с.в., равная тому k, при котором впервые
сумма Sk = ξ1 + . . . + ξk превосходит 1. Доказать, что E ν = e.
   59. Пусть с.в. ξ1, ξ2, ξ3 v U[0; 1] и независимы. Найти м.о. ми-
нимальной ξ(1), максимальной ξ(3) и серединной ξ(2) точек.
   60. С.в. ξ (> 0) имеет логарифмически нормальное распреде-
ление, если ln ξ v N(m, σ 2). Найти E ξ и D ξ.
   61.> Пусть с.в. ξ1, . . . , ξn независимы и ξk v U(0, θ), θ >
0, ∀k = 1, n. В качестве оценки параметра θ можно взять
                           2   P
                               n
                   θ̃1 =   n
                                   ξi или θ̃2 = n + 1
                                                      max ξ .
                                                  n 16i6n i
                               i=1

       Доказать, что:
         i) эти оценки несмещенные, т.е. E θ̃1 = E θ̃2 = θ;
        ii) оценка θ̃2 эффективнее θ̃1 , т.е. D θ̃2 < D θ̃1 .

   Подсказка. Найти сначала ф.р. ξ(n) = max ξi.
                                                          16i6n

       62. Доказать, что для любой с.в. ξ с E ξ 4 < ∞
         i)  E ξ 4 > (E ξ 2)2 > (E ξ)4 ;
                                                      4
                                                          ¡    3 2
                                                                  ¢
         ii) если E ξ = 0, D ξ = 1, то            Eξ > Eξ             + 1.
   63.> Пусть ξ — неотрицательная случайная величина с конеч-
ным м.о. и F (x) — ее функция распределения. Доказать, что:
         i)   если ξ — целочисленная с.в. ( ξ ∈ h0, 1, 2, . . .i ), то
                               P
                               ∞
                         Eξ =    (1 − F (k));
                                       k=1

Страницы