Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 191 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Задачи 191
ii) если ξ — абсолютно непрерывная с.в., то
E ξ =
Z
∞
0
(1 − F (x)) dx .
Подсказка. Рассмотреть конечные верхние пределы; пред-
ставить 1−F (x) через вероятности значений ξ (плотность ξ ); по-
менять порядок суммирования (интегрирования).
iii) как будут выглядеть эти формулы, если с.в. ξ не обяза-
тельно положительна?
64.
>
Для с.в. ξ с ф.р. F (x) общего вида математическое ожи-
дание определяется посредством интеграла Лебега-Стилтьеса:
E h(ξ) =
Z
∞
−∞
h(x) dF (x).
Абсолютная непрерывность F как раз означает, что здесь
можно заменить dF(x) на f(x) dx. Кстати, формула задачи 63 ii
справедлива для любой положительной с.в.
Найти среднее значение E ξ случайной величины ξ с ф.р.
F (x) =
0 , если x 6 0,
3x
4
, если 0 < x 6 1,
1 , если x > 1.
65. Доказать, что если с.в.
ξ
>
0
имеет м.о.
E
ξ,
то ,,хвост‘‘
ее распределения P {ξ > n} убывает к нулю быстрее, чем
1
/
n
:
lim
n→∞
n P {ξ > n} = 0. (?)
66.
>
Утверждение, обратное утверждению предыдущей зада-
чи, не всегда верно. Доказать, что с.в. с распределением
P {ξ = k} =
C
k
2
ln k
, k = 2, 3, . . . ,
с некоторым C > 0, не имеет м.о., но удовлетворяет (?) .
                                Задачи                         191


     ii)   если ξ — абсолютно
                           Z ∞непрерывная с.в., то
                      Eξ =     (1 − F (x)) dx .
                                0
   Подсказка. Рассмотреть конечные верхние пределы; пред-
ставить 1−F (x) через вероятности значений ξ (плотность ξ ); по-
менять порядок суммирования (интегрирования).
     iii) как будут выглядеть эти формулы, если с.в. ξ не обяза-
тельно положительна?

   64.> Для с.в. ξ с ф.р. F (x) общего вида математическое ожи-
дание определяется посредством интеграла Лебега-Стилтьеса:
                             Z ∞
                    E h(ξ) =      h(x) dF (x).
                                    −∞

    Абсолютная непрерывность F как раз означает, что здесь
можно заменить dF (x) на f (x) dx. Кстати, формула задачи 63 ii
справедлива для любой положительной с.в.
    Найти среднее значение E ξ случайной величины ξ с ф.р.
                        
                         0 , если x 6 0,
                        
                          3x
                F (x) =    4
                             , если 0 < x 6 1,
                        
                        
                           1 , если x > 1.

    65. Доказать, что если с.в. ξ > 0 имеет м.о. E ξ, то ,,хвост‘‘
ее распределения P {ξ > n} убывает к нулю быстрее, чем 1/n :

                        lim n P {ξ > n} = 0.                   (?)
                       n→∞

    66.> Утверждение, обратное утверждению предыдущей зада-
чи, не всегда верно. Доказать, что с.в. с распределением
                                   C
                  P {ξ = k} =            , k = 2, 3, . . . ,
                                k 2 ln k
с некоторым C > 0, не имеет м.о., но удовлетворяет (?) .

Страницы