Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 192 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

192 Т е м а VII. Числовые характеристики случайных величин
67.
>
Максимальный коэффициент корреляции между с.в. ξ, η
R(ξ, η) := sup
U,V
Corr(U(ξ), V (η)),
где супремум берется по всем борелевским функциям U(x), V (x),
для которых коэффициент корреляции существует. Доказать, что:
i) R(ξ, η) > 0;
ii) R(ξ, η) = 0 только тогда, когда с.в. ξ, η независимы.
68.
>
Неравенство Йенсена
E h(ξ) > h(E ξ)
справедливо для любой выпуклой книзу функции h(x) (например,
h(x) = x
2
), если м.о. E h(ξ) существует и функция h определена
во всех точках носителя ξ и в точке µ = E ξ. Доказать неравен-
ство Йенсена в частном случае, когда функция h(x) дифференци-
руема в точке µ.
Подсказка. График выпуклой книзу функции лежит выше
любой ее касательной.
69.
>
Функция плотности с.в. ξ равна C ln(1 +
1
/
x
m
), x > 0.
(a) Найти константу C и k -й момент E ξ
k
.
(b) Вычислить D ξ при m = 4 и m = 6.
70. Коэффициент корреляции между двумя событиями A и
B равен
ρ(A, B) =
P {AB}−P {A}P {B}
p
P {A}P {A
c
}P {B}P {B
c
}
.
(a) Доказать, что:
i) |ρ(A, B)| 6 1 ;
ii) ρ(A, B) = 0 только тогда, когда события независимы.
(b) В каких случаях ρ(A, B) = ±1 ?
192          Тема   VII. Числовые характеристики случайных величин


      67.> Максимальный коэффициент корреляции между с.в. ξ, η
                  R(ξ, η) := sup Corr(U (ξ), V (η)),
                              U,V

где супремум берется по всем борелевским функциям U (x), V (x),
для которых коэффициент корреляции существует. Доказать, что:
       i) R(ξ, η) > 0;
      ii) R(ξ, η) = 0 только тогда, когда с.в. ξ, η независимы.

      68.> Неравенство Йенсена
                           E h(ξ) > h(E ξ)
справедливо для любой выпуклой книзу функции h(x) (например,
h(x) = x2), если м.о. E h(ξ) существует и функция h определена
во всех точках носителя ξ и в точке µ = E ξ. Доказать неравен-
ство Йенсена в частном случае, когда функция h(x) дифференци-
руема в точке µ.
  Подсказка. График выпуклой книзу функции лежит выше
любой ее касательной.
      69.> Функция плотности с.в. ξ равна C ln(1 + 1/xm), x > 0.
      (a) Найти константу C и k -й момент E ξ k .
      (b) Вычислить D ξ при m = 4 и m = 6.
   70. Коэффициент корреляции между двумя событиями A и
B равен
                          P {AB} − P {A} P {B}
              ρ(A, B) = p                           .
                         P {A} P {Ac} P {B} P {B c}
      (a) Доказать, что:
         i) |ρ(A, B)| 6 1 ;
        ii) ρ(A, B) = 0 только тогда, когда события независимы.
      (b) В каких случаях ρ(A, B) = ±1 ?

Страницы