Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 189 стр.

                             Задачи                            189


   46.g Пусть независимые с.в. ξ1, . . . , ξn положительны и одина-
ково распределены. Чему равно
                    µ                 ¶
                      ξ1 + . . . + ξk
                  E                     , k 6 n?
                      ξ1 + . . . + ξn

   47. Случайные величины ξ и η имеют конечные моменты
второго порядка. Доказать, что D(ξ + η) = D ξ + D η тогда и
только тогда, когда эти величины не коррелированы.
   48. Случайные величины ξ1, . . . , ξk+m (k > m) независимы,
одинаково распределены и имеют конечную дисперсию. Найти ко-
эффициент Corr(ξ1 + . . . + ξk , ξm+1 + . . . + ξm+k ).
   49. С.в. ξ, η независимы и E ξ = 1, E η = 2, D ξ = 1, D η = 4.
Найти E(ξ 2 + 2η 2 + ξη + 4ξ + η + 4) и E(ξ + η + 1)2.
   50. Пусть ξ — симметричная с.в. с конечным средним значе-
нием. Найти коэффициент ковариации между |ξ| и sign(ξ).
   51.> Пусть абсолютно непрерывные симметричные с.в. ξ, η
имеют общий конечный носитель X = [−A; A]. Плотность ξ вы-
пукла книзу, а плотность η — кверху. Чья дисперсия больше?
   52. Случайная величина ξ v E(1), найти E(1 − exp(−αξ)).
   53. Случайные величины ξ1, . . . , ξn, независимы и имеют рав-
                                                    P
                                                   n−1
номерное распределение на отрезке [0; 1]. Найти E      |ξi+1 − ξi|.
                                                    i=1

   54. Пусть ξ и η — независимые случайные величины с ко-
нечными дисперсиями. Доказать, что D(ξη) > D ξ · D η.
    55. Доказать, что если с.в. ξ и η независимы, E ξ = E η = 0,
E |ξ|3 < ∞, E |η|3 < ∞, то E(ξ + η)3 = E ξ 3 + E η 3.
   56. Случайные величины ξ и η независимы и нормально рас-
пределены с одними и теми же параметрами µ и σ 2.