Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 179 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теория и примеры 179
Медианой с.в. ξ с ф.р. F (x) называется такое значение m, что
P {ξ < m} 6
1
2
> P {ξ > m} или F (m) 6
1
2
6 F (m+).
Модой с.в. ξ называется
(а) любая точка локального максимума функции плотности
f
ξ
(x), если распределение ξ абсолютно непрерывно;
(б) любое значение x, для которого максимальна вероятность
P {ξ = x}, если ξ имеет дискретное распределение.
Z 5 Медиана, как и среднее значение, служит характеристикой положения
с.в. Формально, половина ,,массы‘‘ с.в. лежит левее медианы, полови-
на — правее.
Другое название моды — наивероятное значение.
7. Иногда медиану определяют как решение уравнения
F (x) =
1
/
2
. Приведите графические примеры ф.р., когда такое
определение не корректно — либо уравнение не имеет решений,
либо решений очень много. Докажите, что следующие числа мож-
но выбрать в качестве медианы:
• m
l
= sup
D
x : F (x) <
1
2
E
; • m
r
= inf
D
x : F (x) >
1
2
E
;
• m
c
=
1
2
(m
l
+ m
r
).
В каком случае m
l
< m
r
?
Пример 6. Складывая (начиная с первой) все вероятности
в таблице пуассоновского распределения P(5) (с. 222), находим
F (5) = P {ξ < 5} = 0.44049, а F (5+) = P {ξ 6 5} = 0.61596.
Поэтому медиана пуассоновского распределения P(5) равна 5. В
обозначениях предыдущей задачи m
l
= m
r
= m
c
= 5 .
                           Теория и примеры                            179




 Медианой с.в. ξ с ф.р. F (x) называется такое значение m, что

   P {ξ < m} 6 12 > P {ξ > m} или              F (m) 6 12 6 F (m+).

 Модой с.в. ξ называется
 (а) любая точка локального максимума функции плотности
     fξ (x), если распределение ξ абсолютно непрерывно;
 (б) любое значение x, для которого максимальна вероятность
     P {ξ = x}, если ξ имеет дискретное распределение.


 Z 5 Медиана, как и среднее значение, служит характеристикой положения
     с.в. Формально, половина ,,массы‘‘ с.в. лежит левее медианы, полови-
     на — правее.
     Другое название моды — наивероятное значение.

     7. Иногда медиану определяют как решение уравнения
F (x) = 1/2 . Приведите графические примеры ф.р., когда такое
определение не корректно — либо уравнение не имеет решений,
либо решений очень много. Докажите, что следующие числа мож-
но выбрать в качестве медианы:
                D           1E              D            1E
     • ml = sup x : F (x) <    ;  • mr = inf x : F (x) >   ;
                            2                            2
             1
     • mc =    (ml + mr ).
             2
     В каком случае ml < mr ?

    Пример 6. Складывая (начиная с первой) все вероятности
в таблице пуассоновского распределения P(5) (с. 222), находим
 F (5) = P {ξ < 5} = 0.44049,       а   F (5+) = P {ξ 6 5} = 0.61596.
Поэтому медиана пуассоновского распределения P(5) равна 5. В
обозначениях предыдущей задачи ml = mr = mc = 5 .

Страницы