Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 176 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

176 Т е м а VII. Числовые характеристики случайных величин
Общий член ряда может быть представлен в виде производной
по параметру p : k (1 − p)
k−1
= −
¡
(1 − p)
k
¢
0
p
. Поэтому
µ = −p
µ
∞
X
k=1
(1 − p)
k
0
p
= −p
³
1 − p
p
´
0
p
= −p
³
−
1
p
2
´
=
1
p
.
Для отыскания дисперсии сначала найдем второй момент ξ :
E ξ
2
= p
∞
X
k=1
k
2
(1 − p)
k−1
.
Используем тот же прием дифференцирования по параметру.
Для этого сначала разобьем наш ряд на два ряда, подставив k
2
=
k(k + 1) − k :
E ξ
2
= p
∞
X
k=1
k(k + 1) (1 − p)
k−1
− p
∞
X
k=1
k (1 − p)
k−1
.
Второе слагаемое равно µ =
1
/
p
. Первое слагаемое равно
p
∞
X
k=1
k(k + 1) (1 − p)
k−1
= p
µ
∞
X
k=1
(1 − p)
k+1
00
p
2
=
= p
µ
(1 − p)
2
p
00
p
2
= p
µ
p − 2 +
1
p
00
p
2
= p
2
p
3
=
2
p
2
.
Следовательно, дисперсия
D ξ = E ξ
2
− µ
2
=
h
2
p
2
−
1
p
i
−
³
1
p
´
2
=
1
p
2
−
1
p
=
1 − p
p
2
.
Итак, среднее с.в. Паскаля (по свойству 2) равно
2
/
p
, а диспер-
сия, как дисперсия суммы двух независимых с.в., равна
2(1 − p)
/
p
2
.
Z 4 Вспомните ,,матан‘‘ и скажите, в каком месте нашего решения мы
немножко слукавили?
Пример 3. Чему равны среднее значение и дисперсия дис-
кретного распределения из примера 3, с. 137?
Решение. Носитель распределения есть множество натураль-
ных чисел, а вероятности p
k
= P {ξ = k} =
6
/
(
π
k)
2
. Среднее зна-
 176            Тема       VII. Числовые характеристики случайных величин


   Общий член ряда может быть представлен в виде производной
                               k−1
                                      ¡        ¢
                                              k 0
по параметру p :     k (1 − p)     = − (1 − p) p . Поэтому
           µX∞             ¶0      ³     ´        ³    ´
                         k           1−p 0           1     1
    µ = −p       (1 − p)      = −p          = −p − 2 = .
                                                     p     p                  p            p
                 k=1                  p

       Для отыскания дисперсии сначала найдем второй момент ξ :
                               ∞
                               X
                      E ξ2 = p   k 2 (1 − p)k−1.
                                           k=1
   Используем тот же прием дифференцирования по параметру.
Для этого сначала разобьем наш ряд на два ряда, подставив k 2 =
k(k + 1) − k :
                ∞
                X                          ∞
                                           X
       E ξ2 = p    k(k + 1) (1 − p)k−1 − p   k (1 − p)k−1.
                   k=1                                         k=1
Второе слагаемое равно µ = 1/p . Первое слагаемое равно
       ∞
       X                          µX∞            ¶00
     p    k(k + 1) (1 − p)k−1 = p     (1 − p)k+1     =
          k=1                                        k=1                  p2
                       µ             ¶00         µ                 ¶00
                                 2
                           (1 − p)                             1                  2            2
                = p                        = p p−2+                       = p          =          .
                              p                                p                  p3           p2
                                      p2                             p2
Следовательно, дисперсия
                     h     i ³ ´2
            2    2     2 1    1     1   1   1−p
    Dξ = Eξ − µ = 2 −       −     = 2 −   =  2 .
                                 p         p         p         p          p            p
   Итак, среднее с.в. Паскаля (по свойству 2) равно 2/p , а диспер-
сия, как дисперсия суммы двух независимых с.в., равна 2(1 − p)/p2 .
 Z 4 Вспомните ,,матан‘‘ и скажите, в каком месте нашего решения мы
     немножко слукавили?

   Пример 3. Чему равны среднее значение и дисперсия дис-
кретного распределения из примера 3, с. 137?
   Решение. Носитель распределения есть множество натураль-
ных чисел, а вероятности pk = P {ξ = k} = 6/(πk)2 . Среднее зна-

Страницы