Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 166 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

166 Т е м а VI. Распределения случайных величин
Ответы и указания
1. Записать свойства в виде свойств для убывающих или воз-
растающих последовательностей событий. Например,
lim
x→−∞
F (x) = lim ↓
N→∞
P {ξ < −N} = P {∅} = 0.
2. iii) событие {a < ξ < b} можно представить в ви-
де разности вложенных событий {ξ < b}
@@
{ξ 6 a}. Поэтому
P {a < ξ < b} = P {ξ < b}−P {ξ 6 a}. Первое слагаемое равно
F (b). Событие {ξ 6 a} = lim ↓
n
{ξ < a +
1
n
}. По свойству непре-
рывности вероятности,
P {ξ 6 a} = lim
n
P
n
ξ < a +
1
n
o
= lim
n
F
³
a +
1
n
´
= F (a + 0).
3. Найти количество точек, для которых величина скачка >
1
n
, n > 1.
4. Следует интерпретировать значение плотности как отно-
сительную вероятность попадания в окрестность точки.
5. (a) Начать с ф.р. P {h(ξ) < x} = P
n
ξ <
ˆ
h(x)
o
=
R
ˆ
h(x)
a
f(t) dt; подходящей заменой свести последний интеграл к ви-
ду
R
x
C
Q(y) dy ; проанализировать для каких x -ов эти операции
допустимы.
6. f
η
(y) =
1
y
2
, y > 1. Интересно, что
1
1 − ξ
v
1
ξ
. Почему?
7. Воспользоваться схемой вывода ф.р. для функции от с.в.
Небольшое предупреждение: противоположное событие {ξ >
a}
c
= {ξ 6 a}.
8. Решить неравенство kξ + b < x относительно ξ; приме-
нить подходящую замену, при которой верхний предел интегриро-
вания станет равен x.
 166                Тема   VI. Распределения случайных величин




                                                   Ответы и указания

     1. Записать свойства в виде свойств для убывающих или воз-
растающих последовательностей событий. Например,

              lim F (x) = lim ↓ P {ξ < −N } = P {∅} = 0.
             x→−∞           N →∞

      2. iii) событие {a < ξ < b} можно представить в ви-
де разности вложенных событий {ξ < b} @ {ξ 6 a}. Поэтому
P {a < ξ < b} = P {ξ < b} − P {ξ 6 a} . Первое слагаемое равно
F (b). Событие {ξ 6 a} = lim ↓{ξ < a + n1 }. По свойству непре-
                             n
рывности вероятности,n           o        ³      ´
                               1               1
     P {ξ 6 a} = lim P ξ < a + n = lim F a + n = F (a + 0).
                     n                        n
        3. Найти количество точек, для которых величина скачка >
1
n
  ,    n > 1.
        4. Следует интерпретировать значение плотности как отно-
сительную вероятность попадания в окрестность точки.
                                                  n        o
        5. (a) Начать с ф.р. P {h(ξ) < x} = P ξ < ĥ(x)        =
R ĥ(x)
 a R f (t) dt; подходящей заменой свести последний интеграл к ви-
        x
ду C Q(y) dy ; проанализировать для каких x -ов эти операции
допустимы.
                                               1
     6. fη (y) = y12 , y > 1. Интересно, что 1 − ξ
                                                   v 1
                                                     ξ
                                                       . Почему?
     7. Воспользоваться схемой вывода ф.р. для функции от с.в.
Небольшое предупреждение: противоположное событие {ξ >
a}c = {ξ 6 a}.
     8. Решить неравенство kξ + b < x относительно ξ; приме-
нить подходящую замену, при которой верхний предел интегриро-
вания станет равен x.

Страницы