Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 196 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

196 Т е м а VII. Числовые характеристики случайных величин
27. E
S
ξ
=
Sp
S
(S − 1)!
(−1)
S
d
S−1
d p
S−1
³
ln p
1 −p
´
. Представить иско-
мое м.о. в виде (S − 1) -ой производной от хвоста ряда Тейлора
функции ln p (см. пример при решении следующей задаче).
28. Представить искомое м.о. в виде (S − 2) -ой производной
от суммы геометрической прогрессии. Например, при S = 3 :
E
2
ξ − 1
=
∞
X
k=3
µ
2
k −1
(k −1)!
2!(k −3)!
p
3
(1 − p)
k−3
=
= p
3
∞
X
k=3
(k − 2)(1 − p)
k−3
== −p
3
Ã
∞
X
k=3
(1 − p)
k−2
!
0
=
= −p
3
µ
1 − p
p
0
= p.
29. E ξ = 2, D ξ = ∞.
30. Оба значения равны 7. 31. pλ.
32. −0.2. Представить числа выпадений единиц и шестерок
как сумму N независимых копий случайных векторов (ξ
1
, ξ
6
) (см.
задачу 16, с. 184); показать, что ковариация суммы независимых
векторов равна сумме ковариаций.
33. N(ap(1 −β
1
)(1 −β
2
) −b(1 −p)α
1
α
2
−c(p(β
1
+ β
2
−β
1
β
2
) +
(1 − p)(1 −α
1
α
2
))).
34. E ζ = 6p(1 − p); D ζ = 2p(1 − p)(5 − 14p + 14p
2
). Для
м.о. и ковариаций важны только вероятность P {η
1
= 1} = 2p(1 −
p) и вероятность P {η
1
η
2
= 1} = p(1 − p)
2
+ p
2
(1 − p) = p(1 −
p). Расписать дисперсию суммы через дисперсии слагаемых и их
попарные ковариации.
35. (a) 1 −(1 −p)
k
. (b) N(1 −(1 −p)
k
+
1
k
). (c) В 2.35 раза.
 196           Тема          VII. Числовые характеристики случайных величин

                                                  ³           ´
               S           SpS         S d
                                           S−1
                                                       ln p
   27. E      =                   (−1)     . Представить иско-
               ξ         (S − 1)!        d pS−1       1−p
мое м.о. в виде (S − 1) -ой производной от хвоста ряда Тейлора
функции ln p (см. пример при решении следующей задаче).

    28. Представить искомое м.о. в виде (S − 2) -ой производной
от суммы геометрической прогрессии. Например, при S = 3 :
            ∞ µ
            X        ¶
      2           2     (k − 1)! 3
  E      =                      p (1 − p)k−3 =
       ξ−1                 k−1      2!(k − 3)!
                   k=3
                     ∞
                                                              ̰                     !0
                     X                                         X
             = p3          (k − 2)(1 − p)k−3 == −p3                     (1 − p)k−2        =
                     k=3                                          k=3
                         µ         ¶0
                             1−p
             = −p3                      = p.
                               p

       29. E ξ = 2, D ξ = ∞.

       30. Оба значения равны 7. 31. pλ.

    32. −0.2. Представить числа выпадений единиц и шестерок
как сумму N независимых копий случайных векторов (ξ1, ξ6) (см.
задачу 16, с. 184); показать, что ковариация суммы независимых
векторов равна сумме ковариаций.

    33. N (ap(1 − β1)(1 − β2) − b(1 − p)α1α2 − c(p(β1 + β2 − β1β2) +
(1 − p)(1 − α1α2))).

    34. E ζ = 6p(1 − p); D ζ = 2p(1 − p)(5 − 14p + 14p2). Для
м.о. и ковариаций важны только вероятность P {η1 = 1} = 2p(1 −
p) и вероятность P {η1η2 = 1} = p(1 − p)2 + p2(1 − p) = p(1 −
p). Расписать дисперсию суммы через дисперсии слагаемых и их
попарные ковариации.

       35. (a) 1 − (1 − p)k . (b) N (1 − (1 − p)k + k1 ). (c) В 2.35 раза.

Страницы