Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 198 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

198 Т е м а VII. Числовые характеристики случайных величин
56. (a)
α
2
− β
2
α
2
+ β
2
. (b) Рассмотреть случай µ = 0, σ
2
= 1.
Найти ф.р. и пл.в. с.в. ζ = max(ξ, η). При вычислении м.о.
E ζ разбить область интегрирования на две части — (−∞; 0] и
[0; +∞). В первом интеграле сделать замену x → −x; показать,
что м.о. E ζ = 2
R
∞
0
xφ(x) dx =
p
2
/
π
. Перейти к общему случаю
µ ∈ R
1
, σ > 0.
57. ρ
13
+ ρ
14
+ ρ
23
+ ρ
24
.
58. Показать, что
P {ν > k} = P
n
k
X
1
ξ
i
6 1
o
=
Z
···
Z
V
dx
1
···dx
k
=
1
k!
,
где область интегрирования
V =
0 6 x
1
6 1, 0 6 x
2
6 1 − x
1
, . . . ,
0 6 x
k
6 1 −x
1
− . . . − x
k−1
®
.
59. E ξ
(1)
=
1
4
, E ξ
(2)
=
1
2
, E ξ
(3)
=
3
4
.
60. E ξ = exp{µ +
σ
2
/
2
}, D ξ = exp{2µ + σ
2
}(exp{σ
2
} − 1).
61. М.о. и дисперсия
˜
θ
1
легко находятся через свойства для
суммы независимых с.в. Для оценки
˜
θ
2
найти сначала ф.р. и пл.в.
Показать, что D
˜
θ
1
=
θ
2
3n
> D
˜
θ
2
=
θ
2
n(n + 2)
.
62. i) применить свойства дисперсии к с.в. ξ и ξ
2
; ii) вы-
числить коэффициент корреляции Corr(ξ, ξ
2
).
63. Например, пусть ξ v E(1) с плотностью вероятностей
 198            Тема    VII. Числовые характеристики случайных величин

                  2    2
     56. (a) α 2
             α +β
                 −β
                    2 . ( b) Рассмотреть случай µ = 0, σ 2 = 1.
Найти ф.р. и пл.в. с.в. ζ = max(ξ, η). При вычислении м.о.
E ζ разбить область интегрирования на две части — (−∞; 0] и
[0; +∞). В первом интеграле сделать
                               p     замену x → −x; показать,
                  R∞
что м.о. E ζ = 2 0 xφ(x) dx = 2/ π . Перейти к общему случаю
µ ∈ R 1, σ > 0.

       57. ρ13 + ρ14 + ρ23 + ρ24.

       58. Показать, что

                      nX
                       k       o Z Z                   1
         P {ν > k} = P   ξi 6 1 = · · · dx1 · · · dxk = ,
                               1
                                                                         k!
                                                V

где область интегрирования
                        ­
                 V =        0 6 x1 6 1, 0 6 x2 6 1 − x1, . . . ,
                                                             ®
                               0 6 xk 6 1 − x1 − . . . − xk−1 .


       59. E ξ(1) = 41 , E ξ(2) = 12 , E ξ(3) = 43 .

       60. E ξ = exp{µ + σ 2/2 }, D ξ = exp{2µ + σ 2}(exp{σ 2} − 1).

   61. М.о. и дисперсия θ̃1 легко находятся через свойства для
суммы независимых с.в. Для оценки θ̃2 найти сначала ф.р. и пл.в.
                      θ2               2
Показать, что D θ̃1 = 3n > D θ̃2 = n(nθ+ 2) .

   62. i) применить свойства дисперсии к с.в. ξ и ξ 2;                        ii)   вы-
числить коэффициент корреляции Corr(ξ, ξ 2).

       63. Например, пусть ξ v E(1) с плотностью вероятностей

Страницы