Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 199 стр.

                                   Ответы и указания                199


f (t) = e−t, t > 0. Тогда
   Z∞                 Z∞µZ∞       ¶    Z∞ µZy   ¶
     (1 − F (x)) dx =       e−y dy dx = e−y   dx dy =
   0                           0        x               0   0
                               Z∞
                           =           ye−y dy = E ξ.
                                   0

              R0             R∞
       iii)        F (x) dx + (1 − F (x)) dx.
              −∞               0


     64. Ф.р. F (x) = 43 x + 14 G(x), где функция G(x) = 0 при
x 6 1 и G(x) = 1 при x > 1. Другими словами, F есть ф.р.
,,составной‘‘ с.в., которая с вероятностью 3/4 равна реализации
равномерной U[0; 1] с.в. и с вероятностью 1/4 равна 1. Поэто-
му м.о. равно 34 · 12 + 14 · 1 = 58 . Применение формулы ii из
предыдущей задачи дает тот же результат.

    65. Записать вероятность P {ξ > n} через интеграл от пл.в.
(если распределение абсолютно-непрерывно) или через сумму ве-
роятностей соответствующих значений (если распределение дис-
кретно); воспользоваться тем, что область интегрирования (сумми-
рования) содержит только точки, большие n ; применить критерий
сходимости интегралов (рядов).
             P∞ 2            −1
    66. Ряд     k=3 (k ln k) P   сходится, так как (ln k)−1 < 1. М.о.
                                  ∞            −1
не существует, так как ряд        k=2 (k ln k)    расходится (!?). Дока-
зать неравенство
                  P                 1 R dx
                  ∞                     ∞
                           1                         1
                         2
                       k ln k
                                6  ln n    x 2  = n ln n
                                                         .
                       k=n+1                     n

   67. i) показать, что предположение R < 0 противоречит
определению R как максимального коэффициента корреляции;