Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 201 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Т е м а VIII.
Характеристические функции.
Предельные теоремы
[1, с. 120–131]
Характеристической функцией (коротко х.ф.) с.в. ξ называется
функция
ϕ(t) = ϕ
ξ
(t) := E e
itξ
= E cos(tξ) + i E sin(tξ), t ∈R
1
,
где i — мнимая единица.
∗ ∗ ∗
Теорема.
1. ϕ(0) = 1.
2. |ϕ(t)| 6 1, ∀t ∈ R
1
.
3. Любая х.ф. равномерно непрерывна на всей числовой прямой.
4. ϕ(−t) = ϕ(t) (— комплексно-сопряжены).
5. Х.ф. вещественна ттогда она четна;
ттогда распределение с.в. симметрично: ξ v −ξ.
6. Если существует E ξ
k
(т.е. E |ξ|
k
< ∞) при целом k > 0,
то х.ф. ϕ(t) с.в. ξ имеет k -ю производную в точке t = 0 и
E ξ
m
=
1
i
m
ϕ
(m)
(0), ∀m 6 k.
Если существует конечная производная четного порядка
ϕ
(2k)
(0), то момент E ξ
m
существует ∀m 6 2k.
7. Х.ф. суммы ζ = ξ
1
+ . . . + ξ
n
независимых с.в. равна
ϕ
ζ
(t) = ϕ
ξ
1
(t) ··· ϕ
ξ
n
(t).
8. Функции распределения двух с.в. совпадают тогда и только
тогда, когда совпадают их характеристические функции.
∗ ∗ ∗
                     Характеристические функции.
   Тема    VIII.
                     Предельные теоремы


                                                          [1, с. 120–131]

Характеристической функцией (коротко х.ф.) с.в. ξ называется
функция
       ϕ(t) = ϕξ (t) := E eitξ = E cos(tξ) + i E sin(tξ), t ∈ R 1,
где i — мнимая единица.


  Теорема.                    ∗∗∗
1. ϕ(0) = 1.
2. | ϕ(t)| 6 1, ∀ t ∈ R 1.
3. Любая х.ф. равномерно непрерывна на всей числовой прямой.
4. ϕ(−t) = ϕ(t) (— комплексно-сопряжены).
5. Х.ф. вещественна ттогда она четна;
   ттогда распределение с.в. симметрично: ξ v −ξ.
6. Если существует E ξ k (т.е. E |ξ|k < ∞ ) при целом k > 0,
   то х.ф. ϕ(t) с.в. ξ имеет k -ю производную в точке t = 0 и
                    E ξ m = 1m ϕ(m)(0), ∀m 6 k.
                              i
   Если существует конечная производная четного порядка
   ϕ(2k)(0), то момент E ξ m существует ∀ m 6 2k.
7. Х.ф. суммы ζ = ξ1 + . . . + ξn независимых с.в. равна
                        ϕζ (t) = ϕξ1 (t) · · · ϕξn (t).
8. Функции распределения двух с.в. совпадают тогда и только
   тогда, когда совпадают их характеристические функции.
                               ∗∗∗

Страницы