Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 203 стр.

                        Теория и примеры                      203


   Пример 3. Могут ли функции ϕ1(t) = sin t+1 и ϕ2(t) = cos t
быть х.ф. какой-либо с.в.?
   Решение. Функция ϕ1(t) не может быть х.ф., так как она
вещественна, но не является четной, что противоречит свойству 5.
(Кстати, она не удовлетворяет и свойству 2.) Что касается функции
ϕ2(t), то с ней немного сложнее, поскольку она удовлетворяет всем
основным свойствам (1, 2, 3, 5), что, однако, не гарантирует ее
принадлежность к классу х.ф.
   Воспользуемся формулой Эйлера:
                               1 it·1       1 it·(−1)
                     cos t =     e      +     e       .
                               2            2
Последнее выражение есть х.ф. классического двухточечного рас-
пределения, сосредоточенного (с вероятностями 1/2 ) в точках
−1, +1.
   Пример 4. Может ли функция ϕ(t) = 1 − t2 при |t| 6 1 и
ϕ(t) = 0 при |t| > 1 быть характеристической функцией?
    Решение. Легко проверяется выполнение первых пяти свойств
для функции ϕ. Воспользовавшись свойством 6, получаем, что
если ϕ есть характеристическая функция, то четвертый момент
соответствующей с.в. должен равняться 0 ( = ϕ(iv)(0) ). Этим свой-
ством обладают только случайные величины, тождественно рав-
ные 0, однако х.ф. такой с.в. равна 1 при всех t, что не совпадает
с нашей ϕ. Следовательно, она не может быть х.ф.
     1. Докажите, что х.ф. с.в. η = aξ + b связана с х.ф. с.в. ξ
равенством
                     ϕη (t) = eib t ϕξ (at).
    2. С помощью соответствующего преобразования с.в. ξ v
U[−1; 1] найдите х.ф. с.в. η v U[0; 1].

   Пример 5. Какое распределение имеет сумма ζ = ξ +η двух
независимых с.в., одна из которых ξ v U[−1; 1], а вторая η есть