Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 202 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

202 Т е м а VIII. Метод характеристических функций
Таблица х.ф. некоторых распределений
Распределение Х.ф.
Биномиальное Bin(n, p) (1 − p + pe
it
)
n
Пуассона P(λ) exp(λ(e
it
− 1))
Геометрическое Geo(p)
p
¡
e
−i t
− 1 + p
¢
Экспоненциальное E(1)
1
(1 − it)
Гамма G(p, 1)
1
(1 − it)
p
Равномерное U[−1, 1]
sin(t)
t
Коши C(0, 1) e
−|t|
Нормальное N(0, 1) e
−
1
2
t
2
Пример 1. Характеристическая функция детерминирован-
ной величины, то есть ,,с.в.‘‘ ξ ≡ C (= const) с вероятностью 1,
равна
ϕ(t) = E e
itξ
= e
it C
.
Пример 2. Найдем х.ф. классического дискретного распреде-
ления, сосредоточенного в точках X =
1
N
,
2
N
, . . . , 1
®
с вероятно-
стями
1
N
, описывающего модель распределения датчика псевдо-
случайных чисел в любом из известных языков программирования
( N — точность представления десятичных чисел).
Решение. Воспользовавшись формулой для конечной геомет-
рической прогрессии, находим
ϕ(t) = E e
itξ
=
1
N
N
X
k=1
e
it
k
N
=
1
N
e
it
1
N
− e
it
N+1
N
1 − e
it
1
N
=
1
N
1 − e
it
e
−it
1
N
− 1
.
 202                  Тема     VIII. Метод характеристических функций


                 Таблица х.ф. некоторых распределений

                       Распределение                                       Х.ф.
           Биномиальное                            Bin(n, p) (1 − p + peit)n

           Пуассона                                P(λ)          exp(λ(eit − 1))

           Геометрическое                          Geo(p)         ¡ −i t p ¢
                                                                   e −1+p
                                                                             1
           Экспоненциальное E(1)                                          (1 − it)
                                                                              1
           Гамма                                   G(p, 1)                (1 − it)p
                                                                           sin(t)
           Равномерное                             U[−1, 1]                   t

           Коши                                    C(0, 1)                  e−|t|
                                                                              1 2
           Нормальное                              N(0, 1)                 e− 2 t

   Пример 1. Характеристическая функция детерминирован-
ной величины, то есть ,,с.в.‘‘ ξ ≡ C (= const) с вероятностью 1,
равна
                       ϕ(t) = E eitξ = eit C .

   Пример 2. Найдем х.ф. классического дискретного распреде-
                                    ­                   ®
ления, сосредоточенного в точках X = N1 , N2 , . . . , 1 с вероятно-
стями N1 , описывающего модель распределения датчика псевдо-
случайных чисел в любом из известных языков программирования
( N — точность представления десятичных чисел).
   Решение. Воспользовавшись формулой для конечной геомет-
рической прогрессии, находим
                              N
                              X                              1        N +1
                itξ       1                k
                                        it N        1   eit N − eit    N            1       1 − eit
   ϕ(t) = E e         =             e          =                              =                           .
                          N                         N             it N1             N       −it N1
                              k=1                         1−e                           e            −1

Страницы