Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 204 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

204 Т е м а VIII. Метод характеристических функций
дискретная с.в. с классическим распределением, сосредоточенным
в точках ±1 ?
Решение. По свойству 7, х.ф. суммы независимых с.в. равна
произведению х.ф. слагаемых. В примере 3 мы установили, что
ϕ
η
(t) = cos(t), поэтому
ϕ
ζ
(t) = ϕ
ξ
(t) ϕ
η
(t) =
sin(t)
t
· cos(t) =
sin(2t)
2t
.
Сверившись с таблицей х.ф., замечаем, что найденная нами
функция отличается от х.ф. равномерного распределения U[−1; 1]
заменой аргумента t на 2t. В силу утверждения задачи 1 отсюда
можно сделать вывод, что это есть х.ф. равномерного распределе-
ния на отрезке [−2; 2].
Пример 6. Найдем дисперсию с.в. ξ v G(p, 1).
Решение. Вычислим первые две производные х.ф. этой с.в. в
точке t = 0 (в соответствии со свойством 6 всегда нужно вычис-
лять четное число производных, даже если требуется найти только
первый момент, либо доказывать существование моментов нечет-
ного порядка специальными средствами):
ϕ
0
(0) =
µ
1
(1 − it)
p
0
¯
¯
¯
¯
t=0
=
i p
(1 − it)
p+1
¯
¯
¯
¯
t=0
= i p,
ϕ
00
(0) =
µ
i p
(1 − it)
p+1
0
¯
¯
¯
¯
t=0
=
i
2
p(p + 1)
(1 − it)
p+2
¯
¯
¯
¯
t=0
= i
2
p(p + 1).
Следовательно, м.о. ξ равно µ =
1
i
ϕ
0
(0) = p, а дисперсия
D ξ = E ξ
2
− µ
2
= p(p + 1) −p
2
= p.
Пример 7. Чему равно м.о. распределения Коши?
Решение. Характеристическая функция распределения Коши
e
−|t|
недифференцируема в точке t = 0. Следовательно, м.о. не
существует.
 204                Тема    VIII. Метод характеристических функций


дискретная с.в. с классическим распределением, сосредоточенным
в точках ±1 ?
    Решение. По свойству 7, х.ф. суммы независимых с.в. равна
произведению х.ф. слагаемых. В примере 3 мы установили, что
ϕη (t) = cos(t), поэтому
                                          sin(t)                sin(2t)
              ϕζ (t) = ϕξ (t) ϕη (t) =             · cos(t) =           .
                                             t                     2t
   Сверившись с таблицей х.ф., замечаем, что найденная нами
функция отличается от х.ф. равномерного распределения U[−1; 1]
заменой аргумента t на 2t. В силу утверждения задачи 1 отсюда
можно сделать вывод, что это есть х.ф. равномерного распределе-
ния на отрезке [−2; 2].
       Пример 6.        Найдем дисперсию с.в. ξ v G(p, 1).
   Решение. Вычислим первые две производные х.ф. этой с.в. в
точке t = 0 (в соответствии со свойством 6 всегда нужно вычис-
лять четное число производных, даже если требуется найти только
первый момент, либо доказывать существование моментов нечет-
ного порядка специальными средствами):
           µ           ¶0 ¯                     ¯
                 1        ¯           i p       ¯
   ϕ0(0) =                ¯     =               ¯ =       i p,
             (1 − it)p    ¯       (1 −  it) p+1 ¯
                            t=0                   t=0
              µ                 ¶0 ¯                    ¯
                      ip           ¯        i2p(p + 1) ¯¯
   ϕ00(0) =                        ¯     =                  =          i2p(p + 1).
                  (1 − it)p+1      ¯       (1 − it)p+2 ¯t=0
                                   t=0

Следовательно, м.о. ξ равно µ = 1i ϕ0(0) = p, а дисперсия
                    D ξ = E ξ 2 − µ2 = p(p + 1) − p2 = p.
       Пример 7.        Чему равно м.о. распределения Коши?
    Решение. Характеристическая функция распределения Коши
e−|t| недифференцируема в точке t = 0. Следовательно, м.о. не
существует.

Страницы