Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 205 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теория и примеры 205
Последовательность с.в. {ξ
n
, n = 1, 2, . . .}
сходится слабо (или по распределению) к с.в. ξ
0
, если ф.р.
F
ξ
n
(x) → F
ξ
0
(x), n → ∞,
во всех точках x, в которых предельная ф.р. F
ξ
0
(x) непрерывна.
Для слабой сходимости используются обозначения:
ξ
n
; ξ
0
, ξ
n
; F
0
, ξ
n
d
→ ξ
0
, F
n
w
→ F
0
, F
n
⇒ F
0
.
Пример 8. Интуитивно понятно, что последовательность
случайных величин ξ
n
v U[−
1
n
;
1
n
] должна сходиться к нулю.
Действительно, ф.р. ξ
n
(на носителе) равна
F
n
(x) =
n
2
³
x +
1
n
´
, −
1
n
6 x 6
1
n
.
Во всех точках x 6= 0 последовательность этих ф.р. сходится к
функции
F
0
(x) =
(
0, если x 6 0,
1, если x > 0,
которая является ф.р. ξ
0
≡ 0 и которая разрывна лишь в точке
x = 0. Таким образом, как и ожидалось, ξ
n
; 0.
∗ ∗∗
Теорема .
(I) ξ
n
; ξ
0
⇔ х.ф. ϕ
ξ
n
(t) → ϕ
ξ
0
(t) ∀t.
(II) Если ξ
n
; ξ
0
и ξ
0
≡ C (= const), тогда имеет место сходи-
мость по вероятности — ξ
n
P
→ C, то есть ∀ε > 0
lim
n→∞
P {|ξ
n
− C| > ε} = 0 .
∗ ∗ ∗
Пример
9. Датчики случайных чисел во всех языках про-
граммирования устроены так, что в результате их работы выдается
отрезок десятичного числа (с точностью до N знаков), интерпре-
тируемый как приближенное значение равномерно распределенно-
го числа. Справедливо ли это?
                           Теория и примеры                                 205


 Последовательность с.в. {ξn, n = 1, 2, . . .}
 сходится слабо (или по распределению) к с.в. ξ0, если ф.р.
                   Fξn (x) → Fξ0 (x), n → ∞,
 во всех точках x, в которых предельная ф.р. Fξ0 (x) непрерывна.
 Для слабой сходимости используются обозначения:
                                   d              w
     ξn ; ξ0 ,   ξ n ; F0 ,    ξn → ξ0 ,      F n → F0 ,       F n ⇒ F0 .

   Пример 8.      Интуитивно понятно, что последовательность
случайных величин ξn v U[− n1 ; n1 ] должна сходиться к нулю.
Действительно, ф.р. ξn (на носителе) равна
                        ³      ´
                      n      1        1       1
            Fn(x) =       x+     , − 6x6 .
                       2         n            n            n
Во всех точках x 6= 0 последовательность этих ф.р. сходится к
функции                    (
                             0, если x 6 0,
                   F0(x) =
                             1, если x > 0,
которая является ф.р. ξ0 ≡ 0 и которая разрывна лишь в точке
x = 0. Таким образом, как и ожидалось, ξn ; 0.


   Теорема .                     ∗∗∗
(I) ξn ; ξ0 ⇔       х.ф. ϕξn (t) → ϕξ0 (t) ∀t.
(II) Если ξn ; ξ0 и ξ0 ≡ C (= const), тогда имеет место сходи-
                            P
мость по вероятности — ξn → C, то есть ∀ε > 0
                     lim P {|ξn − C| > ε} = 0 .
                    n→∞
                                 ∗∗∗
    Пример 9. Датчики случайных чисел во всех языках про-
граммирования устроены так, что в результате их работы выдается
отрезок десятичного числа (с точностью до N знаков), интерпре-
тируемый как приближенное значение равномерно распределенно-
го числа. Справедливо ли это?

Страницы