Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 206 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

206 Т е м а VIII. Метод характеристических функций
Решение. Вероятностная модель случайного числа, выдавае-
мого датчиком, описана в примере 2, с. 202. Для этой модели х.ф.
при N → ∞ (см. замечательный предел 4.B, с. 215)
ϕ
N
(t) =
1
N
1 − e
it
e
−it
1
N
− 1
(4.B)
→
e
it
− 1
i t
.
Как было установлено в задаче 2, это есть х.ф. модели U[0; 1].
Пример 10. Докажем закон больших чисел Бернулли, утвер-
ждающий, что среднее число успехов в схеме Бернулли приближа-
ется к истинной вероятности успеха с ростом числа испытаний.
Решение. Пусть ξ
1
, . . . , ξ
n
v Bern(p) — последовательность
независимых бернуллиевских с.в. с одинаковой вероятностью успе-
ха p. Характеристическая функция каждой из этих с.в. легко на-
ходится:
ϕ
k
(t) = E e
itξ
k
= p e
it·1
+ (1 −p) e
it·0
= 1 −p + pe
it
.
По свойству 7, х.ф.
P
n
1
ξ
k
равна n -ой степени х.ф. слагаемых:
(1 − p + pe
it
)
n
.
Взглянув на таблицу х.ф., обнаружим, что это есть х.ф. би-
номиального распределения. Вообще говоря, сей замечательный
факт нас не должен слишком сильно радовать, поскольку мы обя-
заны были его знать из предыдущих тем курса и не заниматься
стрельбой по давно улетевшим воробьям.
Характеристическая функция среднего арифметического ξ
(то есть суммы, деленной на n ) получается из последней заме-
ной аргумента t на
t
/
n
(в силу утверждения задачи 1, с. 203):
ϕ
ξ
(t) =
³
1 − p + pe
i
t
/
n
´
n
.
Воспользуемся замечательным пределом 4.A, с. 215. Здесь
n(a
n
− 1) = n p
³
e
i
t
/
n
− 1
´
→ itp,
поэтому ϕ
η
n
(t) → exp(itp), что совпадает с х.ф. ξ
0
≡ p.
 206           Тема   VIII. Метод характеристических функций


   Решение. Вероятностная модель случайного числа, выдавае-
мого датчиком, описана в примере 2, с. 202. Для этой модели х.ф.
при N → ∞ (см. замечательный предел 4.B, с. 215)
                       1    1 − eit         eit − 1
                                         (4.B)
             ϕN (t) =                →              .
                       N  −it N1               i t
                        e        −1
Как было установлено в задаче 2, это есть х.ф. модели U[0; 1].

   Пример 10. Докажем закон больших чисел Бернулли, утвер-
ждающий, что среднее число успехов в схеме Бернулли приближа-
ется к истинной вероятности успеха с ростом числа испытаний.
   Решение. Пусть ξ1, . . . , ξn v Bern(p) — последовательность
независимых бернуллиевских с.в. с одинаковой вероятностью успе-
ха p. Характеристическая функция каждой из этих с.в. легко на-
ходится:
       ϕk (t) = E eitξk = p eit·1 + (1 − p) eit·0 = 1 − p + peit.
                      Pn
По свойству 7, х.ф.     1 ξk равна n -ой степени х.ф. слагаемых:

                           (1 − p + peit)n.
   Взглянув на таблицу х.ф., обнаружим, что это есть х.ф. би-
номиального распределения. Вообще говоря, сей замечательный
факт нас не должен слишком сильно радовать, поскольку мы обя-
заны были его знать из предыдущих тем курса и не заниматься
стрельбой по давно улетевшим воробьям.
   Характеристическая функция среднего арифметического ξ
(то есть суммы, деленной на n ) получается из последней заме-
ной аргумента t на t/n (в силу утверждения задачи 1, с. 203):
                           ³                 ´n
                                       i t/n
                   ϕξ (t) = 1 − p + pe          .
Воспользуемся замечательным пределом 4.A, с. 215. Здесь
                              ³           ´
                                 i t/n
               n(an − 1) = n p e       − 1 → itp,
поэтому ϕηn (t) → exp(itp), что совпадает с х.ф. ξ0 ≡ p.

Страницы