Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 208 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

208 Т е м а VIII. Метод характеристических функций
свойством 6 для х.ф., докажите, что при t → 0 :
i) если ∃ µ = E ξ , ⇒ ϕ
ξ
(t) = exp
¡
iµ t + o(t)
¢
;
ii) если ∃
(
µ = E ξ,
σ
2
= D ξ,
)
⇒ ϕ
ξ
(t) = exp
¡
iµ t −
σ
2
2
t
2
+ o(t
2
)
¢
.
6. Докажите Закон Больших Чисел Хинчина:
если {ξ
k
}
∞
k=1
— независимые одинаково распределенные с.в., для
которых существует м.о. µ = E ξ
i
, то среднее арифметическое этой
последовательности (при n → ∞)
1
n
n
X
k=1
ξ
k
P
−→ µ.
7. Математическое ожидание распределения Коши не суще-
ствует. Докажите, что (в противовес Закону Больших Чисел) сред-
нее арифметическое случайных величин из этого распределения не
,,стабилизируется‘‘ около константы.
8. Докажите Центральную Предельную Теорему (ЦПТ):
если {ξ
k
, k > 1} — последовательность независимых одинаково
распределенных с.в., для которых существуют м.о. µ = E ξ
k
и
дисперсия σ
2
= D ξ
k
, то при n → ∞
1
σ
√
n
n
X
k=1
(ξ
k
− µ) ; N(0, 1).
Z 1 Краткая формулировка ЦПТ.
Сумма независимых одинаково распределенных с.в. асимптотически
нормальна со средним и дисперсией, равными сумме истинных сред-
них (nµ) и, соответственно, дисперсией (n σ
2
) слагаемых.
 208            Тема   VIII. Метод характеристических функций


свойством 6 для х.ф., докажите, что при t → 0 :
                                            ¡           ¢
    i) если ∃ µ = E ξ ,       ⇒ ϕξ (t) = exp iµ t + o(t) ;
              (             )
                 µ = E ξ,                   ¡        σ2 2      2
                                                                 ¢
   ii) если ∃                 ⇒ ϕξ (t) = exp iµ t −     t + o(t ) .
                 σ 2 = D ξ,                          2

     6. Докажите Закон Больших Чисел Хинчина:
          ∞
если {ξk }k=1 — независимые одинаково распределенные с.в., для
которых существует м.о. µ = E ξi, то среднее арифметическое этой
последовательности (при n → ∞ )
                                 n
                                 X
                           1              P
                                       ξk −→ µ.
                           n
                                 k=1

      7. Математическое ожидание распределения Коши не суще-
ствует. Докажите, что (в противовес Закону Больших Чисел) сред-
нее арифметическое случайных величин из этого распределения не
,,стабилизируется‘‘ около константы.
     8. Докажите Центральную Предельную Теорему (ЦПТ):
если {ξk , k > 1} — последовательность независимых одинаково
распределенных с.в., для которых существуют м.о. µ = E ξk и
дисперсия σ 2 = D ξk , то при n → ∞
                           n
                           X
                       1
                       √         (ξk − µ) ; N(0, 1).
                     σ n
                           k=1



 Z 1 Краткая формулировка ЦПТ.
     Сумма независимых одинаково распределенных с.в. асимптотически
     нормальна со средним и дисперсией, равными сумме истинных сред-
     них (nµ) и, соответственно, дисперсией (n σ 2 ) слагаемых.

Страницы