Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 210 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

210 Т е м а VIII. Метод характеристических функций
14. Являются ли следующие функции характеристическими?
(a)
cos t
1 − t
2
(b) 1 − i t (c) e
−t
2
−2|t|
(d)
1
1 − t
2
− 2 i t
(e)
1
1 + t
2
(f)
1
1 − |t|
(g) e
−|t|
3
(h) 1 − sin
2
t (i)
√
1 − t
2
I
[−1;1]
(t)
(j)
1
8
(1 + exp(i t))
3
(k) 1 (l) cos t − i|sin t|
(m)
1
2
(
√
2 + sin t)
2
(n)
1
1 + i t
(o) exp(−2t
2
)
(p) e
(2 cos t−2+2 i sin t)
(q) 1 + i sin t (r)
1
1 + i |t|
15. Пусть ϕ
1
(t), . . . , ϕ
n
(t) — характеристические функции.
Доказать, что их выпуклая комбинация
c
1
ϕ
1
(t) + . . . + c
n
ϕ
n
, где ∀c
k
> 0 и
P
n
k=1
c
k
= 1,
также является характеристической функцией.
Подсказка. Применить задачу 64, с. 191.
16. Если ϕ(t) — характеристическая функция, будут ли ха-
рактеристическими функции Re ϕ(t), Im ϕ(t), |ϕ(t)|
2
?
Подсказка. Воспользоваться утверждением задачи 15.
17. Используя х.ф., найти м.о. и дисперсию
(a) биномиального распределения Bin(n, p ) ;
(b) пуассоновского распределения P(λ) ;
(c) геометрического распределения Geo(p) ;
(d) равномерного на отрезке [−θ; θ] распределения;
(e) гамма-распределения G(p, λ) ;
(f) экспоненциального распределения E(λ) ;
(g) нормального распределения N(µ, σ
2
).
210                     Тема      VIII. Метод характеристических функций


      14. Являются ли следующие функции характеристическими?

       (a) 1cos t                                                       2 −2|t|
             − t2
                                       (b) 1 − i t          (c) e−t
                    1
       (d)                             (e) 1 +1 t2          (f) 1 −1 |t|
               1 − t − 2it
                    2

                   3                                            √
       (g) e−|t|                       (h) 1 − sin2 t       (i) 1 − t2 I[−1;1](t)

        (j) 18 (1 + exp(i t))3         (k) 1                (l) cos t − i| sin t|
               1 √            2                1
      (m)        ( 2 + sin t)          (n)                  (o) exp(−2t2)
               2                             1 + it
                                                                      1
       (p) e(2 cos t−2+2 i sin t)      (q) 1 + i sin t      ( r)
                                                                   1 + i |t|

   15. Пусть ϕ1(t), . . . , ϕn(t) — характеристические функции.
Доказать, что их выпуклая комбинация
                                                                   Pn
              c1 ϕ1(t) + . . . + cn ϕn,      где ∀ck > 0 и          k=1 ck        = 1,

также является характеристической функцией.
   Подсказка. Применить задачу 64, с. 191.
   16. Если ϕ(t) — характеристическая функция, будут ли ха-
рактеристическими функции Re ϕ(t), Im ϕ(t), | ϕ(t)|2?
   Подсказка. Воспользоваться утверждением задачи 15.
      17. Используя х.ф., найти м.о. и дисперсию
      (a )    биномиального распределения Bin(n, p) ;
      (b)     пуассоновского распределения P(λ) ;
      ( c)    геометрического распределения Geo(p) ;
      (d)     равномерного на отрезке [−θ; θ] распределения;
      (e)     гамма-распределения G(p, λ) ;
       ( f)   экспоненциального распределения E(λ) ;
      (g )    нормального распределения N(µ, σ 2).

Страницы