Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 212 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

212 Т е м а VIII. Метод характеристических функций
24. Пусть {ξ
k
}
∞
k=2
— независимые бернуллиевские с.в., при-
чем P {ξ
k
= 1} =
1
/
k
p
. При каких значениях параметра p по-
следовательность ξ
(n)
= max{ξ
2
, . . . , ξ
n
} слабо сходится к с.в. с
невырожденным (сосредоточенным не в одной точке) распределе-
нием? Каково предельное распределение при p = 2?
25. Пусть {ξ
k
}
∞
k=1
— последовательность независимых равно-
мерных U[0; 1] с.в. Найти асимптотическое (при n → ∞) рас-
пределение с.в. i) n min
k6n
ξ
k
; ii) n (1 −max
k6n
ξ
k
).
26. В математической статистике распределение хи-квадрат с
k степенями свободы описывается как распределение суммы квад-
ратов k независимых N(0,1) с.в.:
χ
2
k
= ξ
2
1
+ . . . + ξ
2
k
, ∀ξ
j
v N(0, 1).
Найти связь между хи-квадрат распределением и гамма-
моделью. Вычислить E χ
2
k
, D χ
2
k
. Доказать, что при k → ∞
P
½
χ
2
k
− k
√
2k
< x
¾
= Φ(x) + o(1) .
27.
>
Пусть ξ
k
v C(µ, σ
2
), k = 1, n , независимые с.в. Ко-
ши. Показать, что их среднее арифметическое имеет то же самое
распределение:
ξ
n
:=
1
n
n
X
i=k
ξ
k
v C(µ, σ
2
).
Доказать, что это свойство является характеризационным для
распределения Коши. То есть, если среднее арифметическое любо-
го числа независимых одинаково распределенных величин имеет то
же распределение, что и каждое из слагаемых, тогда это распре-
деление будет распределением Коши с некоторыми параметрами.
28. Используя вероятностные соображения, доказать, что
n+1
Z
0
x
n
e
−x
dx ³
n!
2
, n → ∞.
 212           Тема     VIII. Метод характеристических функций

                    ∞
    24. Пусть {ξk }k=2 — независимые бернуллиевские с.в., при-
чем P {ξk = 1} = 1/kp . При каких значениях параметра p по-
следовательность ξ(n) = max{ξ2, . . . , ξn} слабо сходится к с.в. с
невырожденным (сосредоточенным не в одной точке) распределе-
нием? Каково предельное распределение при p = 2?
                   ∞
    25. Пусть {ξk }k=1 — последовательность независимых равно-
мерных U[0; 1] с.в. Найти асимптотическое (при n → ∞) рас-
пределение с.в. i) n min ξk ; ii) n (1 − max ξk ).
                        k6n                     k6n
    26. В математической статистике распределение хи-квадрат с
k степенями свободы описывается как распределение суммы квад-
ратов k независимых N(0,1) с.в.:
               χ2k = ξ12 + . . . + ξk2 , ∀ξj v N(0, 1).
    Найти связь между хи-квадрат распределением и гамма-
моделью. Вычислить E χ2k , D χ2k . Доказать, что при k → ∞
                  ½ 2           ¾
                    χk − k
                P √          < x = Φ(x) + o(1) .
                        2k
   27.> Пусть ξk v C(µ, σ 2), k = 1, n , независимые с.в. Ко-
ши. Показать, что их среднее арифметическое имеет то же самое
распределение:
                              n
                           1 X
                   ξ n :=       ξk v C(µ, σ 2).
                              n
                                  i=k
    Доказать, что это свойство является характеризационным для
распределения Коши. То есть, если среднее арифметическое любо-
го числа независимых одинаково распределенных величин имеет то
же распределение, что и каждое из слагаемых, тогда это распре-
деление будет распределением Коши с некоторыми параметрами.
    28. Используя вероятностные соображения, доказать, что
                  Zn+1
                                  n!
                      xn e−x dx ³ , n → ∞.
                                        2
                   0

Страницы