Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 211 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Задачи 211
18. Характеристическая функция с.в. ξ равна ϕ(t). Ее мо-
менты E ξ = µ, D ξ = σ
2
. Чему равны м.о. и дисперсия с.в. с
характеристической функцией (a) ϕ
2
(t) ; (b) |ϕ(t)|
2
?
19. Проверить справедливость Закона Больших Чисел для
(a) ξ v Bern(p); (b) ξ v Geo(p); (c) ξ v P(λ);
(d) ξ v U(0, 1); (e) ξ v E(λ); (f) ξ v G(p, λ );
(g) ξ v C(µ, σ); (h) ξ v N(µ, σ).
20. Пусть с.в. ξ
1
, ξ
2
, . . . независимы, одинаково распределе-
ны с непрерывной всюду функцией распределения, имеют нулевое
среднее значение и конечную дисперсию. К чему сходятся (если
сходятся) при n → ∞ последовательности
(a)
ξ
1
+ . . . + ξ
n
ξ
2
1
+ . . . + ξ
2
n
; (b)
ξ
1
+ . . . + ξ
n
ξ
1
+ . . . + ξ
n
2
?
Для чего здесь введено требование непрерывности ф.р.?
Подсказка. Применить теорему Слуцкого:
£
ζ
n
P
→ 0, η
n
; η
0
, где P {η
j
6= 0} = 1, ∀j > 0
¤
⇒
ζ
n
η
n
P
→ 0.
21. Пусть с.в. ξ
λ
v P(λ). Какое асимптотическое распределе-
ние имеет с.в. η
λ
=
1
√
λ
(ξ
λ
− λ) при λ → ∞.
22. Дискретную геометрическую с.в. также можно интерпре-
тировать как время жизни некоторого объекта. Доказать, что если
испытания в схеме Бернулли происходят ,,часто‘‘ (в моменты вре-
мени t
k
= k·∆, k = 1, 2, . . . , при малом ∆ ) с малой вероятностью
успеха (гибели) p, то при
p
/
∆
³ λ распределение геометрической
с.в. может быть приблизительно описано экспоненциальным зако-
ном E(λ).
23. Пусть ξ
n
=
1
n
P
n
1
ξ
k
— среднее арифметическое независи-
мых E(1) с.в. Какое асимптотическое распределение при n → ∞
имеет последовательность
√
n ln( ξ
n
) ?
                                       Задачи                               211


   18. Характеристическая функция с.в. ξ равна ϕ(t). Ее мо-
менты E ξ = µ, D ξ = σ 2. Чему равны м.о. и дисперсия с.в. с
характеристической функцией (a) ϕ2(t) ; (b) |ϕ(t)|2 ?
   19. Проверить справедливость Закона Больших Чисел для

    (a) ξ v Bern(p);          (b) ξ v Geo(p);            (c) ξ v P(λ);
    (d) ξ v U(0, 1);          (e) ξ v E(λ);              (f) ξ v G(p, λ);
    (g) ξ v C(µ, σ);          (h) ξ v N(µ, σ).

    20. Пусть с.в. ξ1, ξ2, . . . независимы, одинаково распределе-
ны с непрерывной всюду функцией распределения, имеют нулевое
среднее значение и конечную дисперсию. К чему сходятся (если
сходятся) при n → ∞ последовательности
                 ξ1 + . . . + ξn                  ξ1 + . . . + ξn
           (a)                     ;        (b)                    ?
                 ξ12 + . . . + ξn2                ξ1 + . . . + ξn2
    Для чего здесь введено требование непрерывности ф.р.?
   Подсказка. Применить теорему Слуцкого:
    £ P                                          ¤
     ζn → 0, ηn ; η0, где P {ηj 6= 0} = 1, ∀j > 0 ⇒ ηζn → 0.
                                                        P
                                                      n

    21. Пусть с.в. ξλ v P(λ). Какое асимптотическое распределе-
ние имеет с.в. ηλ = √1 (ξλ − λ) при λ → ∞.
                          λ
     22. Дискретную геометрическую с.в. также можно интерпре-
тировать как время жизни некоторого объекта. Доказать, что если
испытания в схеме Бернулли происходят ,,часто‘‘ (в моменты вре-
мени tk = k ·∆, k = 1, 2, . . . , при малом ∆ ) с малой вероятностью
успеха (гибели) p, то при p/∆ ³ λ распределение геометрической
с.в. может быть приблизительно описано экспоненциальным зако-
ном E(λ).
                       P
     23. Пусть ξ n = n1 n1 ξk — среднее арифметическое независи-
мых E(1) с.в. Какое асимптотическое распределение при n → ∞
                              √
имеет последовательность n ln( ξ n) ?

Страницы