Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 209 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Задачи 209
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
9. Найти х.ф. следующих распределений:
(a) равномерного U[−θ, θ];
(b) дискретного, сосредоточенного в двух точках x
1
= −1 и
x
2
= 1 с вероятностями p
1
и p
2
соответственно;
(c) дискретной с.в. ξ :
P {ξ = −2} = P {ξ = 2} =
1
4
, P {ξ = 0} =
1
2
;
(d) случайной величины ξ, принимающей значения
0, 1, . . . , N − 1 с равными вероятностями;
(e) экспоненциального E(λ);
(f) гамма G(p, λ);
(g) Коши C(µ, σ
2
);
(h) нормального N(µ, σ
2
);
(i) Лапласа L(λ).
10. Доказать свойства х.ф. 1, 2, 4, 7. Проанализировать при-
роду соотношения между моментами с.в. и производными ее х.ф.
11. Доказать свойство 5 х.ф.
12. Найти плотность вероятностей (с помощью х.ф.) суммы
N независимых случайных величин, имеющих распределение
(a) Коши с произвольными (различными) параметрами;
(b) экспоненциальное с параметром 1;
(c) Пуассона с произвольными (различными) параметрами;
(d) нормальное с произвольными (различными) параметрами.
13. Формула обращения. Доказать, что распределение це-
лочисленной с.в. ξ ∈ Z = h0, ±1, ±2, . . .i связано с ее х.ф. ϕ(t)
соотношением
P {ξ = k} =
1
2
π
Z
π
−
π
e
−ik t
ϕ(t) dt, ∀k ∈ Z.
                             Задачи                             209




            ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

     9. Найти х.ф. следующих распределений:
   (a) равномерного U[−θ, θ];
   (b) дискретного, сосредоточенного в двух точках x1 = −1 и
       x2 = 1 с вероятностями p1 и p2 соответственно;
   (c) дискретной с.в. ξ :
                      P {ξ = −2} = P {ξ = 2} = 14 , P {ξ = 0} = 21 ;
   (d)        случайной величины ξ, принимающей значения
       0, 1, . . . , N − 1 с равными вероятностями;
   (e) экспоненциального E(λ);
    (f) гамма G(p, λ);
   (g) Коши C(µ, σ 2);
   (h) нормального N(µ, σ 2);
    (i) Лапласа L(λ).
   10. Доказать свойства х.ф. 1, 2, 4, 7. Проанализировать при-
роду соотношения между моментами с.в. и производными ее х.ф.
   11. Доказать свойство 5 х.ф.
   12. Найти плотность вероятностей (с помощью х.ф.) суммы
N независимых случайных величин, имеющих распределение
   (a) Коши с произвольными (различными) параметрами;
   (b) экспоненциальное с параметром 1;
   (c) Пуассона с произвольными (различными) параметрами;
   (d) нормальное с произвольными (различными) параметрами.
    13. Формула обращения. Доказать, что распределение це-
лочисленной с.в. ξ ∈ Z = h0, ±1, ±2, . . .i связано с ее х.ф. ϕ(t)
соотношением
                        Z π
                      1
         P {ξ = k} =          e−ik t ϕ(t) dt,   ∀k ∈ Z.
                     2π −π

Страницы