Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 207 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теория и примеры 207
3. Перефразируя закон больших чисел, можно сказать, что
относительная частота успеха
1
n
ξ ≈ p. Можно ли отсюда сделать
вывод, что число успехов в n испытаниях Бернулли ξ ≈ np?
Пример 11. Интегральная теорема Муавра-Лапласа (с. 108)
утверждает, что если ξ
n
v Bin(n, p), то ф.р. с.в. η
n
=
ξ
n
− np
p
np(1 − p)
в пределе (при n → ∞) совпадает со стандартной нормальной ф.р.
Другими словами, η
n
; N(0, 1). Классики доказывали этот факт
путем долгих преобразований факториалов с помощью формулы
Стирлинга. Мы же (всед за Ляпуновым) воспользуемся методом
характеристических функций.
Решение. В целях сокращения записи будем считать, что ξ
n
v
Bin(n, p) с p =
1
/
2
(общий случай проведите самостоятельно).
Тогда с.в.
η
n
=
ξ
n
− np
p
np(1 − p)
=
2ξ
n
√
n
−
√
n
а ее х.ф. равна (аналогично предыдущему примеру)
ϕ
η
n
(t) = e
−it
√
n
³
1 −
1
2
+
1
2
e
i
2t
√
n
´
n
=
=
³
1
2
e
−i
t
√
n
+
1
2
e
i
t
√
n
´
n
=
³
cos
³
t
√
n
´´
n
.
В силу
h
h
первого
i
i
замечательного предела n
¡
cos
¡
t
√
n
¢
−1
¢
→ −
t
2
2
при n → ∞, поэтому
ϕ
η
n
(t) → e
−
1
2
t
2
.
Последняя функция есть х.ф. стандартного нормального закона.
4. Докажите теорему Пуассона (с. 108) для ξ
n
v Bin(n, p
n
)
при np
n
→ λ с помощью метода характеристических функций.
5. Применяя разложение в ряд Тейлора в окрестности точ-
ки t = 0 к главной ветви функции ln(ϕ
ξ
(t)) и воспользовавшись
                             Теория и примеры                     207


     3. Перефразируя закон больших чисел, можно сказать, что
относительная частота успеха n1 ξ ≈ p. Можно ли отсюда сделать
вывод, что число успехов в n испытаниях Бернулли ξ ≈ np?

   Пример 11.         Интегральная теорема Муавра-Лапласа (с. 108)

утверждает, что если ξn v Bin(n, p), то ф.р. с.в. ηn = pξn − np
                                                             np(1 − p)
в пределе (при n → ∞ ) совпадает со стандартной нормальной ф.р.
Другими словами, ηn ; N(0, 1). Классики доказывали этот факт
путем долгих преобразований факториалов с помощью формулы
Стирлинга. Мы же (всед за Ляпуновым) воспользуемся методом
характеристических функций.
   Решение. В целях сокращения записи будем считать, что ξn v
Bin(n, p) с p = 1/2 (общий случай проведите самостоятельно).
Тогда с.в.
                       ξn − np    2ξn   √
                 ηn = p        = √ − n
                               np(1 − p)        n
а ее х.ф. равна (аналогично предыдущему примеру)
                           √ ³                   ´
                        −it n      1     1 i √2tn n
            ϕηn (t) = e         1− + e              =
                                   2     2
                      ³                  ´       ³ ³ ´´n
                        1 −i √tn  1 i √tn n           t
                    =     e      + e          = cos √    .
                         2           2                  n
                                           ¡ t ¢ ¢  ¡  2
В силу первого замечательного предела n cos n − 1 → − t2
       hh        ii                         √
при n → ∞, поэтому
                                            1 2
                              ϕηn (t) → e− 2 t .
Последняя функция есть х.ф. стандартного нормального закона.
    4. Докажите теорему Пуассона (с. 108) для ξn v Bin(n, pn)
при npn → λ с помощью метода характеристических функций.
     5. Применяя разложение в ряд Тейлора в окрестности точ-
ки t = 0 к главной ветви функции ln(ϕξ (t)) и воспользовавшись

Страницы