Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 214 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

214 Т е м а VIII. Метод характеристических функций
15. См. подсказку. 16. Re(z) =
1
2
z +
1
2
z |z|
2
= zz ;
17. (a) (np, np(1 −p)); (b) (λ, λ); (c) (
1
/
p
,
(1 − p)
/
p
2
); (d)
(0,
θ
2
/
3
); (e) (pλ, pλ
2
); (f) (λ, λ
2
); (g) (µ, σ
2
).
18. (a) (2µ, 2σ
2
); (b) (0, 2σ
2
).
19. (f)
h
ξ
j
v G(p, λ)
i
⇒
h
E ξ
j
= pλ, х.ф. ϕ
j
= (1−iλt)
−p
i
⇒
⇒ х.ф. η
n
=
1
n
n
P
1
ξ
j
равна ϕ
η
n
(t) =
¡
1 − i
λt
n
¢
−np
→ e
itpλ
.
20. (a) 0; (b) 0. Применить закон больших чисел и централь-
ную предельную теорему. Проанализировать ОДЗ выражений.
21. N(0, 1). Представить e
iε
= 1 + i ε −
1
2
ε
2
+ o(|ε|
2
), ε → 0.
22.
£
ξ v Geo(p), p = λ∆
¤
⇒ ∆ξ ; E(λ) при ∆ → 0.
23. N(0, 1). Доказать, что ф.р. P
©
√
n ln
¡
ξ
n
¢
< x
ª
→ Φ(x).
24. p > 1; Bern(
1
/
2
). Исследовать сходимость
ln(P
©
ξ
(n)
= 0
ª
) при n → ∞; воспользоваться одним из
замечательных пределов. При p = 2 сосчитать бесконечное
произведение.
25. E(1). Найти предел функций распределения с.в.
26. G(
n
2
, 2). Сначала найти ф.р. ξ
2
1
, а затем х.ф.
k
P
1
ξ
2
i
. При-
менить центральную предельную теорему.
27. Доказать равенство ϕ(kt) = ( ϕ(t))
k
, ∀t ∈ R
1
, k =
1, 2, . . . ; сначала для рациональных, а затем для произвольных
t > 0 установить равенства ϕ(±t) = ϕ(±1)
t
; положить ϕ(1) =
e
iµ−σ
; доказать, что σ > 0.
28. Воспользоваться тем, что с.в. с распределением G(n+1, 1)
может быть представлена в виде суммы (n+1) экспоненциальных
E(1) с.в. (см. задачу 12b, с. 209); применить центральную предель-
ную теорему.
 214              Тема      VIII. Метод характеристических функций


       15. См. подсказку. 16. Re(z) = 12 z + 21 z            |z|2 = zz ;
     17. (a) (np, np(1 − p)); (b) (λ, λ); (c) ( 1/p , (1 − p)/p2 );        (d)
(0, θ2/3 ); (e) (pλ, pλ2); (f) (λ, λ2); (g) (µ, σ 2).
       18. (a) (2µ, 2σ 2); (b) (0, 2σ 2).
              h             i    h                           i
                                                          −p
       19. (f) ξj v G(p, λ) ⇒ E ξj = pλ, х.ф. ϕj = (1−iλt)     ⇒
                  1   P
                      n                     ¡      λt ¢−np
⇒ х.ф. ηn =       n
                          ξj равна ϕηn (t) = 1 − i n       → eitpλ.
                      1
   20. (a) 0; (b) 0. Применить закон больших чисел и централь-
ную предельную теорему. Проанализировать ОДЗ выражений.
                                                         1
       21. N(0, 1). Представить eiε = 1 + i ε − ε2 + o(|ε|2), ε → 0.
                                                2
           £                   ¤
       22. ξ v Geo(p), p = λ∆ ⇒ ∆ξ ; E(λ) при ∆ → 0.
                                         ©√     ¡ ¢      ª
       23. N(0, 1). Доказать, что ф.р. P    n ln ξ n < x → Φ(x).
    24. p > 1;      Bern( 1/2 ). Исследовать сходимость
     ©       ª
ln(P ξ(n) = 0 ) при n → ∞; воспользоваться одним из
замечательных пределов. При p = 2 сосчитать бесконечное
произведение.
   25. E(1). Найти предел функций распределения с.в.
           n                          2
                                                       P
                                                       k
   26. G( 2 , 2). Сначала найти ф.р. ξ1 , а затем х.ф.   ξi2. При-
                                                       1
менить центральную предельную теорему.
     27. Доказать равенство ϕ(kt) = ( ϕ(t))k , ∀t ∈ R 1, k =
1, 2, . . . ; сначала для рациональных, а затем для произвольных
t > 0 установить равенства ϕ(±t) = ϕ(±1)t; положить ϕ(1) =
eiµ−σ ; доказать, что σ > 0.
   28. Воспользоваться тем, что с.в. с распределением G(n+1, 1)
может быть представлена в виде суммы (n + 1) экспоненциальных
E(1) с.в. (см. задачу 12b, с. 209); применить центральную предель-
ную теорему.

Страницы