Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 215 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Гамма– и бета–функции.
Замечательные пределы
1. Гамма–функция Γ(p) :=
∞
Z
0
x
p−1
e
−x
dx.
X Определена ∀p > 0.
X Γ(p + 1) = p Γ(p).
X Γ
³
1
2
´
=
√
π, Γ(n) = (n − 1)! , ∀n = 1, 2, . . .
2. Бета–функция B(p, q) :=
1
Z
0
x
p−1
(1 − x)
q−1
dx.
X Определена ∀p, q > 0.
X Способ вычисления B(p, q) =
Γ(p)Γ(q)
Γ(p + q)
.
X Еще два варианта представления
B(p, q) =
∞
Z
0
x
p−1
(1 + x)
p+q
dx = 2
π
/
2
Z
0
sin
2p−1
(x) cos
2q−1
(x) dx.
X При q = 1 − p
B(p, 1 − p) = Γ(p)Γ(1 − p) =
π
sin(πp)
.
3. Формула Стирлинга k! ³ k
k
e
−k
√
2πk, k → ∞.
4. Замечательные пределы ( n → ∞)
(A) если
(
a
n
→ 1,
n(a
n
− 1) → z
)
, ⇒ (a
n
)
n
→ e
z
;
(B) если
(
ε
n
→ 0,
n ε
n
→ z
)
, ⇒ n(e
ε
n
− 1) → z.
        Гамма– и бета–функции.
        Замечательные пределы
                                   Z∞
1. Гамма–функция         Γ(p) :=        xp−1e−x dx.
                                    0

  X Определена ∀ p > 0.
  X Γ(p + 1) = p Γ(p).
     ³ ´       √
        1
  X Γ 2 = π,                Γ(n) = (n − 1)! , ∀n = 1, 2, . . .

                                    Z1
2. Бета–функция        B(p, q) :=        xp−1(1 − x)q−1 dx.
                                    0

  X Определена ∀ p, q > 0.
                                              Γ(p)Γ(q)
  X Способ вычисления       B(p, q) = Γ(p + q) .
  X Еще два варианта представления
              Z∞     p−1             Zπ/2
                    x
    B(p, q) =            p+q
                             dx = 2       sin2p−1(x) cos2q−1(x) dx.
                 (1 + x)
                0                         0
  X При q = 1 − p
                                                             π
                     B(p, 1 − p) = Γ(p)Γ(1 − p) =                 .
                                                          sin(πp)

                                         √
3. Формула Стирлинга         k! ³ k k e−k 2πk,            k → ∞.
4. Замечательные пределы ( n → ∞ )
            (               )
              an → 1,
  (A) если                    ,  ⇒                   (an)n → ez ;
              n(an − 1) → z
            (          )
              εn → 0,
  (B) если               ,       ⇒                   n(eεn − 1) → z.
              n εn → z

Страницы