Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Задачи 21
i) A
@@
B = ∅;
ii) A
c
= B
c
;
iii) A ∪ C = B ∪ C, где C — некоторое событие;
iv) AC = BC, где C — некоторое событие;
v) A(A ∪ B) = B(A ∪ B)?
28. В каком случае симметрическая разность трех событий
A M B M E происходит только если происходит ровно одно из
них?
29. Событие A влечет событие B. Упорядочить величины
0, 1, P {A}, P {B}, P {A ∪ B}, P {A
@@
B}, P {AB}.
30. Даны события A и B . Упорядочить величины
P {AB}, 0, P {A}, P {A}+ P {B}, P {A ∪ B}.
31. Даны вероятности событий: P {A} =
1
/
3
, P {B} =
1
/
2
,
P {AB} =
1
/
4
. Найти P {A ∪ B} и P {A
c
B}.
32. Совместны ли события A и B, если вероятность P {A} =
1
/
2
и P {B} =
2
/
3
?
33. Показать, что если P {A}+ P {B} > 1, то события A и
B совместны.
34. (Метод индикаторных функций.) Пусть I
A
: Ω → {0, 1}
— индикаторная функция события A, принимающая значение 1,
если исход ω ∈ A, и 0, если ω /∈ A. Доказать справедливость
следующих свойств:
i) I
A+B
= I
A
+ I
B
; ii) I
A∪B
= 1 − (1 − I
A
)(1 − I
B
);
iii) I
AB
= I
A
I
B
; iv) I
A
c
= 1 − I
A
;
v) I
A
= I
B
+ I
C
⇒ P {A} = P {B}+ P {C};
vi) I
A
= I
B
− I
C
⇒ P {A} = P {B}−P {C};
vii) I
A
(>)
=
(6)
P
k
I
B
k
−
P
j
I
C
j
⇒ P {A}
(>)
=
(6)
P
k
P {B
k
}−
P
j
P {C
j
}
(доказать позже, используя свойства математ. ожидания).
                                               Задачи                                           21


      i)    A@ B = ∅ ;
     ii)    Ac = B c ;
     iii)   A ∪ C = B ∪ C, где C — некоторое событие;
     iv)    AC = BC, где C — некоторое событие;
      v)    A(A ∪ B) = B(A ∪ B)?
   28. В каком случае симметрическая разность трех событий
A M B M E происходит только если происходит ровно одно из
них?
   29. Событие A влечет событие B. Упорядочить величины
     0, 1, P {A}, P {B}, P {A ∪ B}, P {A @ B}, P {AB} .
   30. Даны события A и B . Упорядочить величины
            P {AB}, 0, P {A}, P {A} + P {B}, P {A ∪ B} .
   31. Даны вероятности событий: P {A} = 1/3 , P {B} = 1/2 ,
P {AB} = 1/4 . Найти P {A ∪ B} и P {Ac B} .
    32. Совместны ли события A и B, если вероятность P {A} =
1/2 и P {B} = 2/3 ?

   33. Показать, что если P {A} + P {B} > 1, то события A и
B совместны.
     34. (Метод индикаторных функций.) Пусть IA : Ω → {0, 1}
— индикаторная функция события A, принимающая значение 1,
если исход ω ∈ A, и 0, если ω ∈  / A. Доказать справедливость
следующих свойств:
   i) IA+B = IA + IB ;  ii) IA∪B = 1 − (1 − IA )(1 − IB );
 iii) IAB = IA IB ;    iv) IAc = 1 − IA ;
  v) IA = IB + IC ⇒ P {A} = P {B} + P {C};
 vi) IA = IB − IC ⇒ P {A} = P {B} − P {C};
        (>)   P                P                    (>)   P                   P
vii) IA =         k IB k   −       j I Cj   ⇒ P {A} =         k   P {Bk } −       j   P {Cj }
        (6)                                         (6)
(доказать позже, используя свойства математ. ожидания).

Страницы