Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

22 Т е м а I. Основания теории вероятностей
35. Доказать формулу суммирования вероятностей (тожде-
ство Пуанкаре) для произвольного конечного числа событий:
P
n
n
[
k=1
A
k
o
=
n
X
k=1
P {A
k
}−
X
16k
1
<k
2
6n
P {A
k
1
∩ A
k
2
}+ . . . +
+ (−1)
m+1
X
16k
1
<...<k
m
6n
P {A
k
1
∩ . . . ∩ A
k
m
}+ . . . + (−1)
n
P {A
1
∩ . . . ∩ A
n
} .
Подсказка. Кроме естественного способа по индукции, мож-
но воспользоваться методом индикаторных функций, а именно,
свойствами ii,vii из предыдущей задачи.
36.
>
Вывести аналог тождества Пуанкаре для вероятности пе-
ресечения событий.
37.
>
Доказать формулу Варинга для вероятности P {B
r
n
} осу-
ществления в точности r из n событий A
1
, . . . , A
n
:
P {B
r
n
} =
n−r
X
m=0
(−1)
m
C
r
r+m
X
16k
1
<...<k
(r+m)
6n
P
n
A
k
1
∩ . . . ∩ A
k
(r+m)
o
.
Подсказка. Показать, что (см. задачу 34)
I
B
r
n
=
X
n
r
Y
i∈n
r
I
A
i
Y
j∈n
c
r
(1 − I
A
j
),
где сумма распространяется на все r -выборки n
r
= {i
1
< . . . < i
r
}
из множества {1, . . . , n}, n
c
r
— дополняющая выборка.
38. Доказать, что:
i) P {AB} > P {A}+ P {B}−1;
ii) P
n
n
T
k=1
A
k
o
>
n
P
k=1
P {A
k
}−(n − 1) .
39. Пусть вероятность каждого из событий A и B равна
1
/
2
.
Доказать, что P {AB} = P {A
c
B
c
}.
40. Доказать, что P {A M B} = P {A}+ P {B}−2 P {AB}.
 22                             Тема         I. Основания теории вероятностей


   35. Доказать формулу суммирования вероятностей (тожде-
ство Пуанкаре) для произвольного конечного числа событий:
      n[
       n         o       n
                         X                       X
 P          Ak       =         P {Ak } −             P {Ak1 ∩ Ak2 } + . . . +
      k=1                k=1                16k1  Вывести аналог тождества Пуанкаре для вероятности пе-
ресечения событий.
   37.> Доказать формулу Варинга для вероятности P {Bnr } осу-
ществления в точности r из n событий A1, . . . , An :
                     n−r
                     X                                    X         n                     o
 P {Bnr }        =          (−1)   m
                                       Crr+m                       P Ak1 ∩ . . . ∩ Ak(r+m) .
                     m=0                         16k1 <... P {A} + P {B} −1;
             nT n   o P n
        ii) P     Ak >    P {Ak } −(n − 1) .
                     k=1                   k=1
   39. Пусть вероятность каждого из событий A и B равна 1/2 .
Доказать, что P {AB} = P {Ac B c} .
      40. Доказать, что P {A M B} = P {A} + P {B} −2 P {AB} .

Страницы