Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Задачи 23
41. Доказать, что для любых событий A, B, C
i) P {AB}+ P {AC}+ P {BC} > P {A}+ P {B}+ P {C}−1;
ii) P {AB}+ P {AC}−P {BC} 6 P {A};
iii) P {A M B} 6 P {A M C}+ P {C M B}.
42. Даны p = P {A}, q = P {B}, r = P {A ∪ B}. Найти
i) P {A M B}; ii) P {A B
c
}; iii) P {A
c
B
c
}.
43. Доказать, что каждая σ –алгебра является алгеброй.
44. В каком случае алгебра будет также σ –алгеброй? Други-
ми словами, когда при проверке условия (S3) достаточно ограни-
читься рассмотрением только конечных наборов подмножеств?
45. Найти пересечение σ{A
1
} ∩ σ{A
2
}, если A
1
6= A
2
.
46. Показать, что при проверке условия (S3) достаточно
ограничиться одним из двух приведенных соотношений (например,
только (a)).
47. Доказать, что замкнутость σ –алгебры относительно счет-
ных объединений достаточно проверять только на несовместных
событиях. Точнее, условие (S3a) эквивалентно двум условиям:
(S3
0
) A, B ∈ F ⇒ A ∪ B ∈ F ;
(S3
00
) {A
k
}
∞
1
∈ F, A
k
A
j
= ∅ ⇒
∞
P
k=1
A
k
∈ F.
48. Описать σ{A
1
, A
2
, A
3
}, если A
1
+ A
2
+ A
3
= Ω .
49. Описать σ{A
1
, A
2
}, если подмножества A
1
, A
2
имеют
непустое пересечение и накрывают все пространство Ω : A
1
∪
A
2
= Ω.
50. Описать σ{A
k
, k = 1, n }, если
n
P
k=1
A
k
= Ω.
Сколько элементов эта алгебра содержит?
                                 Задачи                             23


   41. Доказать, что для любых событий A, B, C
    i) P {AB} + P {AC} + P {BC} > P {A} + P {B} + P {C} −1;
    ii) P {AB} + P {AC} − P {BC} 6 P {A};
   iii) P {A M B} 6 P {A M C} + P {C M B} .

   42. Даны p = P {A}, q = P {B}, r = P {A ∪ B} . Найти
      i)   P {A M B};     ii)   P {A B c};    iii)   P {Ac B c} .
   43. Доказать, что каждая σ –алгебра является алгеброй.
   44. В каком случае алгебра будет также σ –алгеброй? Други-
ми словами, когда при проверке условия (S3) достаточно ограни-
читься рассмотрением только конечных наборов подмножеств?
   45. Найти пересечение σ{A1} ∩ σ{A2}, если A1 6= A2.
   46. Показать, что при проверке условия (S3) достаточно
ограничиться одним из двух приведенных соотношений (например,
только (a)).
   47. Доказать, что замкнутость σ –алгебры относительно счет-
ных объединений достаточно проверять только на несовместных
событиях. Точнее, условие (S3a) эквивалентно двум условиям:

      (S30)    A, B ∈ F                      ⇒        A ∪ B ∈ F;
                                                      P
                                                      ∞
      (S300)   {Ak }∞
                    1 ∈ F, Ak Aj = ∅         ⇒           Ak ∈ F.
                                                      k=1


   48. Описать σ{A1, A2, A3}, если A1 + A2 + A3 = Ω .
   49. Описать σ{A1, A2}, если подмножества A1, A2 имеют
непустое пересечение и накрывают все пространство Ω : A1 ∪
A2 = Ω.
                                        P
                                        n
   50. Описать σ{Ak , k = 1, n }, если    Ak = Ω.
                                                 k=1
Сколько элементов эта алгебра содержит?

Страницы