Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

24 Т е м а I. Основания теории вероятностей
51. Доказать, что борелевская σ –алгебра может быть порож-
дена всеми открытыми конечными интервалами:
B(R
1
) = σ{(a; b) : a < b, a, b ∈ R
1
}.
52. Доказать, что борелевская σ –алгебра на прямой может
быть порождена счетным семейством подмножеств R
1
.
53.
>
Борелевскую σ –алгебру на плоскости R
2
можно опре-
делить по аналогии с одномерным случаем как
σ
(−∞, x
1
) × (−∞, x
2
), (x
1
, x
2
) ∈ R
2
®
.
Доказать измеримость (по Борелю) прямоугольников, треуголь-
ников, а также их границ.
54. Доказать, что если F
1
есть σ –алгебра в Ω
1
, то при отоб-
ражении ξ : Ω
1
→ Ω
2
совокупность множеств
F
2
=
D ⊂ Ω
2
: ξ
−1
(D) ∈ F
1
®
образует σ –алгебру в Ω
2
.
55.
>
Доказать, что для минимальной σ –алгебры в Ω
1
, порож-
денной прообразами совокупности подмножеств Q пространства
Ω
2
при отображении ξ : Ω
1
→ Ω
2
, справедливо равенство
σ(ξ
−1
(Q)) = ξ
−1
(σ(Q)).
Подсказка. В одну строну с помощью утверждения задачи
11, с. 16. В другую сторону с помощью утверждения задачи 54.
56. Доказать, что любое отображение ξ : (Ω, F) → (R
1
, B) в
борелевскую числовую прямую измеримо, если
∀y ∈ R
1
множество {ω : ξ(ω) < y} ∈ F.
Подсказка. Применить утверждение задачи 55.
57. Воспользовавшись результатами предыдущей задачи, до-
казать измеримость функции x
2
: (R
1
, B) → (R
1
, B).
24                Тема   I. Основания теории вероятностей


   51. Доказать, что борелевская σ –алгебра может быть порож-
дена всеми открытыми конечными интервалами:
             B(R 1) = σ{(a; b) : a < b, a, b ∈ R 1} .
   52. Доказать, что борелевская σ –алгебра на прямой может
быть порождена счетным семейством подмножеств R 1.
   53.> Борелевскую σ –алгебру на плоскости R 2 можно опре-
делить по аналогии с одномерным случаем как
              ­                                   ®
             σ (−∞, x1) × (−∞, x2), (x1, x2) ∈ R 2 .
Доказать измеримость (по Борелю) прямоугольников, треуголь-
ников, а также их границ.
   54. Доказать, что если F1 есть σ –алгебра в Ω1, то при отоб-
ражении ξ : Ω1 → Ω2 совокупность множеств
                      ­                     ®
                 F2 = D ⊂ Ω2 : ξ −1(D) ∈ F1
образует σ –алгебру в Ω2.
   55.> Доказать, что для минимальной σ –алгебры в Ω1, порож-
денной прообразами совокупности подмножеств Q пространства
Ω2 при отображении ξ : Ω1 → Ω2, справедливо равенство
                     σ(ξ −1(Q)) = ξ −1(σ(Q)).
    Подсказка. В одну строну с помощью утверждения задачи
11, с. 16. В другую сторону с помощью утверждения задачи 54.
   56. Доказать, что любое отображение ξ : (Ω, F) → (R 1, B) в
борелевскую числовую прямую измеримо, если
    ∀y ∈ R 1 множество {ω : ξ(ω) < y} ∈ F.
     Подсказка. Применить утверждение задачи 55.
    57. Воспользовавшись результатами предыдущей задачи, до-
казать измеримость функции x2 : (R 1, B) → (R 1, B).

Страницы