Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

26 Т е м а I. Основания теории вероятностей
Ответы и указания
1. 2. 3. 4. Метод:
h
h
туда и обратно
i
i
. 5. (!?).
6. Занумеровать элементы Ω от 1 до N ; описать каждое
подмножество Ω как N -мерный вектор, в котором на i -ом месте
стоит 1, если i -ый элемент Ω входит в это подмножество, и 0, если
не входит. 7. Нет. 8. По аналогии с примером.
9. Проверить выполнение свойств σ –алгебры. Например,
F ∈ B(Ω) ⇔ [∃B ∈ B(R
1
) : F = B ∩ Ω] ⇒ Ω
@@
F = B
c
∩ Ω ∈ B(Ω).
10. Метод:
h
h
туда и обратно
i
i
. 11. См. задачу 10.
12. i-ii) A
n
@@
A (или A
@@
A
n
) & ∅.
13. i) 1 = P {Ω}; iv) A
1
∪ A
2
∪ A
3
= A
1
∪ (A
2
∪ A
3
).
14. См. задачу 13ii. 15. i) см. задачу 14; ii) см. задачу 13iii.
16. Например, 1 > P {Q ∪ B
n
} > P {B
n
} → 1.
17. 18. 19. 20. 21. 22. Метод: нарисовать диаграмму.
23. i) все хорошие; iii) см. примеры; iv) дефектных 0, 1 или
2; v) перейти к противоположному событию. vi) См. iii.
24. Пример: A ⊂ B ⇒ [ A ∪ B = B + A
@@
B = B + ∅ = B ].
Обратно, A ∪ B = B ⇒ [ω ∈ A ⇒ ω ∈ A ∪ B ⇒ ω ∈ B].
25. i-ii)
h
h
слева направо
i
i
; iv) правило де Моргана и дистрибу-
тивность; v) найти симметрическую разность правой части.
26. i) да; ii) нет; iii) нет; iv) нет; v) нет; vi) да; vii) нет; viii) да.
27. i) нет; ii) да; iii) нет; iv) нет; v) да. 28. См. пример 5.
29. См. задачу 24. 30. (!?). 31. P {A ∪ B} =
7
/
12
,
P {A
c
B} =
1
/
4
. 32. − 33. От противного.
34. i) I
A+B
= 1 ⇔ ω ∈ (A + B) ⇔
⇔ {[(I
A
= 1)&(I
B
= 0)] ∨ [(I
A
= 0)&(I
B
= 1)]} ⇔ I
A
+ I
B
= 1.
ii, iii, iv) аналогично; v) показать, что I
A
= I
B
+ I
C
⇔ A =
B + C; vi) использовать v.
 26                    Тема   I. Основания теории вероятностей




                                                      Ответы и указания

     1. 2. 3. 4. Метод: h туда и обратно i. 5. (!?).
                                     h                 i



     6. Занумеровать элементы Ω от 1 до N ; описать каждое
подмножество Ω как N -мерный вектор, в котором на i -ом месте
стоит 1, если i -ый элемент Ω входит в это подмножество, и 0, если
не входит. 7. Нет. 8. По аналогии с примером.
     9. Проверить выполнение свойств σ –алгебры. Например,
  F ∈ B(Ω) ⇔ [∃B ∈ B( R 1 ) : F = B ∩ Ω] ⇒ Ω @ F = B c ∩ Ω ∈ B(Ω).
      10. Метод: h туда и обратно i. 11. См. задачу 10.
                   h                     i



      12. i-ii) An @ A (или A @ An) & ∅.
      13. i) 1 = P {Ω} ; iv) A1 ∪ A2 ∪ A3 = A1 ∪ (A2 ∪ A3).
      14. См. задачу 13ii. 15. i) см. задачу 14; ii) см. задачу 13iii.
      16. Например, 1 > P {Q ∪ Bn} > P {Bn} → 1.
      17. 18. 19. 20. 21. 22. Метод: нарисовать диаграмму.
      23. i) все хорошие; iii) см. примеры; iv) дефектных 0, 1 или
2; v) перейти к противоположному событию. vi) См. iii.
      24. Пример: A ⊂ B ⇒ [ A ∪ B = B + A @ B = B + ∅ = B ].
Обратно, A ∪ B = B ⇒ [ω ∈ A ⇒ ω ∈ A ∪ B ⇒ ω ∈ B].
      25. i-ii) h слева направо i; iv) правило де Моргана и дистрибу-
               h                 i



тивность; v) найти симметрическую разность правой части.
      26. i) да; ii) нет; iii) нет; iv) нет; v) нет; vi) да; vii) нет; viii) да.
      27. i) нет; ii) да; iii) нет; iv) нет; v) да. 28. См. пример 5.
      29. См. задачу 24.             30. (!?). 31. P {A ∪ B} = 7/12 ,
P {AcB} = 1/4 . 32. − 33. От противного.
      34. i) IA+B = 1 ⇔ ω ∈ (A + B) ⇔
    ⇔ {[(IA = 1)&(IB = 0)] ∨ [(IA = 0)&(IB = 1)]} ⇔ IA + IB = 1.
ii, iii, iv) аналогично; v) показать, что IA = IB + IC ⇔ A =
B + C; vi) использовать v.

Страницы