Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Ответы и указания 27
35. Например, I
∪
3
1
A
k
= 1 − (1 − I
A
1
)(1 − I
A
2
)(1 − I
A
3
) =
= I
A
1
+ I
A
2
+ I
A
3
− I
A
1
A
2
− I
A
1
A
3
− I
A
2
A
3
+ I
A
1
A
2
A
3
.
36. Например, P {AB} = 1 − P {A
c
∪ B
c
} = 1 − (P {A
c
}+
+ P {B
c
}−P {A
c
B
c
}) = P {A}+ P {B}−P {A ∪ B}.
37. Пример для вероятности B
2
4
. Одно из слагаемых (всего
их C
2
4
= 6 ) в представлении для индикаторной функции B
2
4
(см.
подсказку) равно
I
A
1
I
A
2
(1 − I
A
3
)(1 − I
A
4
) = I
A
1
A
2
− I
A
1
A
2
A
3
− I
A
1
A
2
A
4
+ I
A
1
A
2
A
3
A
4
.
Индикатор I
A
1
A
2
A
3
A
4
встретится (со знаком
h
h
+
i
i
) во всех 6 слагае-
мых. Каждый из индикаторов вида I
A
1
A
2
A
3
встретится (со знаком
h
h
−
i
i
) в тех слагаемых, где из этой тройки событий ровно 2 про-
изойдут, то есть C
2
3
= 3 раза.
38. i) см. задачу 13iii; ii) по индукции. 39. Найти
P {A
c
∪ B
c
}. 40. См. пример 11. Способ II. Использовать
метод индикаторных функций (задача 34).
41. i) применить тождество Пуанкаре (задача 35);
ii) представить P {A} в виде суммы вероятностей 4-х событий,
среди которых имеются события AB, AC, ABC;
iii) воспользоваться методом задачи 34.
42. i) 3(p + q) − 2r; ii) 2p + q − r; iii) 1 −r.
43. Дополнить конечный набор событий {A
k
}
N
1
до счетного
набора с сохранением равенств
N
S
1
A
k
=
∞
S
1
A
k
,
N
T
1
A
k
=
∞
T
1
A
k
.
44. В случае σ –алгебры с конечным числом событий.
45. Воспользоваться правилом де Моргана. 46. hΩ, ∅i.
47. Применить задачу 4ii к счетныму числу событий.
48. Всего 8 событий, которые легко перебрать (см. задачу 6).
49. Воспользоваться задачей 47.
50. Связать с каждым подмножеством из искомой σ –алгебры
n -мерный вектор (см. решение задачи 6).
                                 Ответы и указания                                       27


    35. Например,              I∪3Ak = 1 − (1 − IA1 )(1 − IA2 )(1 − IA3 ) =
                                  1
= IA1 + IA2 + IA3 − IA1A2 − IA1A3 − IA2A3 + IA1A2A3 .
   36. Например, P {AB} = 1 − P {Ac ∪ B c} = 1 − (P {Ac} +
+ P {B c} − P {AcB c}) = P {A} + P {B} − P {A ∪ B} .
   37. Пример для вероятности B42. Одно из слагаемых (всего
их C24 = 6 ) в представлении для индикаторной функции B42 (см.
подсказку) равно
        IA1 IA2 (1 − IA3 )(1 − IA4 ) = IA1 A2 − IA1 A2 A3 − IA1 A2 A4 + IA1 A2 A3 A4 .
Индикатор IA1A2A3A4 встретится (со знаком h + i) во всех 6 слагае-
                                                                h    i



мых. Каждый из индикаторов вида IA1A2A3 встретится (со знаком
h − i) в тех слагаемых, где из этой тройки событий ровно 2 про-
h   i



изойдут, то есть C23 = 3 раза.
     38. i) см. задачу 13iii;       ii) по индукции.      39. Найти
P {Ac ∪ B c} .    40. См. пример 11. Способ II. Использовать
метод индикаторных функций (задача 34).
     41. i) применить тождество Пуанкаре (задача 35);
 ii) представить P {A} в виде суммы вероятностей 4-х событий,
среди которых имеются события AB, AC, ABC;
iii) воспользоваться методом задачи 34.
     42. i) 3(p + q) − 2r; ii) 2p + q − r; iii) 1 − r.
     43. Дополнить конечный набор событий {Ak }N       1 до счетного
                                  S
                                  N       S
                                          ∞       T
                                                  N      T
                                                         ∞
набора с сохранением равенств Ak = Ak , Ak = Ak .
                                              1           1         1           1
    44. В случае σ –алгебры с конечным числом событий.
    45. Воспользоваться правилом де Моргана. 46. hΩ, ∅i.
    47. Применить задачу 4ii к счетныму числу событий.
    48. Всего 8 событий, которые легко перебрать (см. задачу 6).
    49. Воспользоваться задачей 47.
    50. Связать с каждым подмножеством из искомой σ –алгебры
n -мерный вектор (см. решение задачи 6).

Страницы