Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

28 Т е м а I. Основания теории вероятностей
51. Пусть B
∗
= σ{(a; b) : a < b, a, b ∈ R
1
}. Воспользовав-
шись результатами задачи 8, показать, что B
∗
⊂ B(R
1
). Обратно,
показать, что все бесконечные интервалы вида (−∞; b) ∈ B
∗
.
52. Найти счетное семейство подмножеств R
1
, из которых
можно с помощью счетных операций объединения и пересечения
получить любой интервал вида (−∞; x), x ∈ R
1
.
53. Последовательно показать измеримость: 1) всех прямо-
угольников (замкнутых, открытых и полуоткрытых, бесконеч-
ных и конечных) со сторонами, параллельными осям коорди-
нат; 2) прямоугольных треугольников с катетами, параллельными
осям координат; 3) любых треугольников; 4) любых прямоуголь-
ников; 5) границ этих фигур.
54. Проверить свойства σ –алгебры. Например, (Ex10 – при-
мер 10)
F ∈ F
2
def
⇒ ξ
−1
(F ) ∈ F
1
(S2)
⇒ (ξ
−1
(F ))
c
∈ F
1
Ex10
⇒ ξ
−1
(F
c
) ∈ F
1
def
⇒ F
c
∈ F
2
.
55. Q ⊂ σ(Q) ⇒ ξ
−1
(Q) ⊂ ξ
−1
(σ(Q)) ⇒ σ(ξ
−1
(Q)) ⊆ ξ
−1
(σ(Q)).
Пусть S = hF ∈ Ω
2
: ξ
−1
(F ) ∈ σ(ξ
−1
(Q)) i. В силу преды-
дущей задачи S — σ –алгебра, причем S ⊇ σ(Q) и ξ
−1
(S) ⊆
σ(ξ
−1
(Q)). Поэтому σ(ξ
−1
(Q)) ⊇ ξ
−1
(S) ⊇ ξ
−1
(σ(Q)).
56. Для доказательства, что ξ
−1
(B) ⊂ F, применить утвер-
ждение задачи 55 к совокупности Q = h(−∞; y), y ∈ R
1
i.
57. Прообраз (−∞; y) при y > 0 равен ( −
√
y;
√
y) ∈ B.
58. Множество {ω : ξ(x) < y} =
∞
∪
k=1
∞
∪
N=1
∞
∩
n=N
{ξ
n
(ω) < y−
1
/
k
}.
59. i) прообраз (−∞; z) равен {x < z, y < z} и, следо-
вательно, измерим относительно борелевской σ –алгебры B(R
2
);
ii) рассмотреть дополнительное событие {min(x, y) > z}.
60. Проверить свойства вероятности. Например, если
A
n
& ∅ ⇒ ξ
−1
(A
n
) & ∅ ⇒ P
©
ξ
−1
(A
n
)
ª
→ 0.
28                     Тема     I. Основания теории вероятностей


    51. Пусть B∗ = σ{(a; b) : a < b, a, b ∈ R 1}. Воспользовав-
шись результатами задачи 8, показать, что B∗ ⊂ B(R 1). Обратно,
показать, что все бесконечные интервалы вида (−∞; b) ∈ B∗.
    52. Найти счетное семейство подмножеств R 1, из которых
можно с помощью счетных операций объединения и пересечения
получить любой интервал вида (−∞; x), x ∈ R 1.
    53. Последовательно показать измеримость: 1) всех прямо-
угольников (замкнутых, открытых и полуоткрытых, бесконеч-
ных и конечных) со сторонами, параллельными осям коорди-
нат; 2) прямоугольных треугольников с катетами, параллельными
осям координат; 3) любых треугольников; 4) любых прямоуголь-
ников; 5) границ этих фигур.
    54. Проверить свойства σ –алгебры. Например, (Ex10 – при-
мер 10)
            def              (S2)               Ex10                def
     F ∈ F2 ⇒ ξ −1 (F ) ∈ F1 ⇒ (ξ −1 (F ))c ∈ F1 ⇒ ξ −1 (F c ) ∈ F1 ⇒ F c ∈ F2 .

      55.    Q ⊂ σ(Q) ⇒      ξ −1 (Q) ⊂ ξ −1 (σ(Q)) ⇒ σ(ξ −1 (Q)) ⊆ ξ −1 (σ(Q)).
Пусть S = h F ∈ Ω2 : ξ −1(F ) ∈ σ(ξ −1(Q)) i. В силу преды-
дущей задачи S — σ –алгебра, причем S ⊇ σ(Q) и ξ −1(S) ⊆
σ(ξ −1(Q)). Поэтому σ(ξ −1(Q)) ⊇ ξ −1(S) ⊇ ξ −1(σ(Q)).
    56. Для доказательства, что ξ −1(B) ⊂ F, применить утвер-
ждение задачи 55 к совокупности Q = h (−∞; y), y ∈ R 1 i.
                                                √ √
    57. Прообраз (−∞; y) при y > 0 равен (− y; y) ∈ B.
                                                ∞    ∞    ∞
      58. Множество {ω : ξ(x) < y} = ∪ ∪                  ∩ {ξn(ω) < y − 1/k }.
                                                k=1 N =1 n=N
     59.    i) прообраз (−∞; z) равен {x < z, y < z} и, следо-
вательно, измерим относительно борелевской σ –алгебры B(R 2);
ii) рассмотреть дополнительное событие {min(x, y) > z}.
     60. Проверить свойства вероятности. Например, если
                               ©       ª
 An & ∅ ⇒ ξ −1(An) & ∅ ⇒ P ξ −1(An) → 0.

Страницы