Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Задачи 25
58.
>
Пусть ξ
n
: (Ω, F) → (R
1
, B) — последовательность из-
меримых функций, для которой существует поточечный предел
ξ(ω) = lim
n
ξ
n
(ω). Доказать измеримость ξ.
Подсказка. {ξ < y} ⇔ {∃ε > 0 ∃N > 1 ∀n > N : ξ
n
<
y −ε}.
59. Доказать измеримость функций двух переменных:
i) max(x, y) : (R
2
, B(R
2
)) → (R
1
, B(R
1
));
ii) min(x, y) : (R
2
, B(R
2
)) → (R
1
, B(R
1
)).
Подсказка. Применить утверждение задачи 56.
60. Если (Ω
1
, F
1
, P
1
) — вероятностное пространство, тогда
любое измеримое отображение ξ : (Ω
1
, F
1
) → (Ω
2
, F
2
) порожда-
ет на (Ω
2
, F
2
) меру
P
ξ
{D} = P
1
{ξ
−1
(D)}, D ∈ F
2
,
называемую распределением случайного элемента ξ. Доказать,
что P
ξ
есть вероятность.
                                Задачи                    25


   58.> Пусть ξn : (Ω, F) → (R 1, B) — последовательность из-
меримых функций, для которой существует поточечный предел
ξ(ω) = limn ξn(ω). Доказать измеримость ξ.
   Подсказка.        {ξ < y} ⇔ {∃ε > 0 ∃N > 1 ∀n > N : ξn <
y − ε}.
   59. Доказать измеримость функций двух переменных:
      i)   max(x, y) : (R 2, B(R 2)) → (R 1, B(R 1));
     ii)   min(x, y) : (R 2, B(R 2)) → (R 1, B(R 1)).
   Подсказка. Применить утверждение задачи 56.
    60. Если (Ω1, F1, P1) — вероятностное пространство, тогда
любое измеримое отображение ξ : (Ω1, F1) → (Ω2, F2) порожда-
ет на (Ω2, F2) меру
                   Pξ {D} = P1{ξ −1(D)},     D ∈ F2 ,
называемую распределением случайного элемента ξ. Доказать,
что Pξ есть вероятность.

Страницы