Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

34 Т е м а II. Классическая схема
Z 3 Обратите внимание на то, что каждый элемент неупорядоченной вы-
борки в схеме без возвращения содержит одинаковое количество эле-
ментов упорядоченной выборки (по два). Для схемы с возвращением
это уже не справедливо.
5. Докажите формулы для N(Ω) в описанных выше схемах
выбора [Y-B], [
H
Y-B], [Y-
H
B] и [
H
Y-
H
B].
Решение (для [
H
Y-B]). Каждой выборке можно сопоставить
вектор (n
1
, . . . , n
N
), где число n
k
равно количеству элементов ге-
неральной совокупности ς
k
∈ S, попавших в выборку (n
1
+ . . . +
n
N
= n). Если в этом векторе каждое число n
k
> 0 заменить n
k
единицами, а числа n
k
= 0 просто отбросить, то выборке будет со-
ответствовать набор n единиц, разделенных (N − 1) -ой запятой.
Например, выборка (a
2
, a
2
) из предыдущего примера эквивалент-
на набору (0, 2, 0) = (, 11, ), состоящему из 4 (= 2+2 = n+(N −1))
элементов. Таким образом, любая выборка представляет собой раз-
мещение (N −1) -ой запятой на (n +N −1) -ом месте. Число таких
выборок равно C
N−1
N+n−1
= C
n
N+n−1
.
Пример 4. Подбрасывание двух монет можно рассматривать
как упорядоченный выбор с возвращением двух объектов из гене-
ральной совокупности, содержащей два объекта — S = {Г, Р}.
Пример 5. Единственный известный нам пример ,,реальной‘‘
ситуации, описываемой схемой выбора [
H
Y-B], восходит к экспери-
ментам по изучению распределения элементарных частиц по энер-
гетическим уровням. Некоторые частицы (бозоны — фотоны, глю-
оны и др.) не подчиняются принципу запрета Паули — запрета
размещения нескольких частиц на одном уровне. Принцип Пау-
ли эквивалентен выбору без возвращения, отказ от принципа —
выбору с возвращением. Бозе и Эйнштейн заметили, что для опи-
сания поведения этих частиц как раз подходит схема выбора [
H
Y-B].
 34                      Тема   II. Классическая схема


      Z 3 Обратите внимание на то, что каждый элемент неупорядоченной вы-
          борки в схеме без возвращения содержит одинаковое количество эле-
          ментов упорядоченной выборки (по два). Для схемы с возвращением
          это уже не справедливо.


    5. Докажите формулы для N(Ω) в описанных выше схемах
выбора [Y-B], [HY-B], [Y-HB] и [HY-HB].

   Решение (для [HY-B]). Каждой выборке можно сопоставить
вектор (n1, . . . , nN ), где число nk равно количеству элементов ге-
неральной совокупности ςk ∈ S, попавших в выборку (n1 + . . . +
nN = n). Если в этом векторе каждое число nk > 0 заменить nk
единицами, а числа nk = 0 просто отбросить, то выборке будет со-
ответствовать набор n единиц, разделенных (N − 1) -ой запятой.
Например, выборка (a2, a2) из предыдущего примера эквивалент-
на набору (0, 2, 0) = (, 11, ), состоящему из 4 (= 2+2 = n+(N −1))
элементов. Таким образом, любая выборка представляет собой раз-
мещение (N − 1) -ой запятой на (n + N − 1) -ом месте. Число таких
выборок равно CN        −1
                     N +n−1  = C n
                                 N +n−1 .

   Пример 4. Подбрасывание двух монет можно рассматривать
как упорядоченный выбор с возвращением двух объектов из гене-
ральной совокупности, содержащей два объекта — S = {Г, Р}.
   Пример 5. Единственный известный нам пример ,,реальной‘‘
ситуации, описываемой схемой выбора [HY-B], восходит к экспери-
ментам по изучению распределения элементарных частиц по энер-
гетическим уровням. Некоторые частицы (бозоны — фотоны, глю-
оны и др.) не подчиняются принципу запрета Паули — запрета
размещения нескольких частиц на одном уровне. Принцип Пау-
ли эквивалентен выбору без возвращения, отказ от принципа —
выбору с возвращением. Бозе и Эйнштейн заметили, что для опи-
сания поведения этих частиц как раз подходит схема выбора [HY-B].

Страницы