Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Гипергеометрическая модель 43
Нас интересует вероятность выбора r = 0 или r = 3 красных
шаров:
Gg(0|20, 3, 10) + Gg(3|20, 3, 10) =
C
0
3
· C
10
17
+ C
3
3
· C
7
17
C
10
20
=
2 · C
7
17
C
10
20
=
=
2 · 17! · 10! · 10!
7! · 10! · 20!
=
4
19
≈ 0.21 .
7. Обобщите гипергеометрическую модель на ,,многоцвет-
ную‘‘ урну.
I. В качестве первого шага решите следующую задачу. В спис-
ке футбольной команды 3 вратаря, 7 защитников, 8 полуза-
щитников и 4 нападающих. Для проведения допинг-контроля
случайно отобрали 5 игроков. Какова вероятность, что допинг-
контроль будут проходить 2 нападающих и по одному игроку
из остальных линий?
II. Рассмотрите урну, содержащую всего N шаров, из которых
R
k
окрашены в k -ый цвет, k = 1, M ,
M
P
k=1
R
k
= N.
Требуется найти вероятность того, что
в выборке объема n без возвращения будет ровно
r
k
шаров k -ого цвета, k = 1, M ,
M
P
k=1
r
k
= n.
8. Докажите, что если из урны извлекается n шаров с воз-
вращением, то вероятность получения ровно r красных шаров рав-
на
C
r
n
p
r
(1 − p)
n−r
, (])
где p =
R
/
N
— доля красных шаров в урне.
9.
>
Докажите, что при большом объеме урны (N → ∞, доля
красных шаров p =
R
/
N
фиксирована) вероятности получения
в выборке заданного числа красных шаров в схемах выбора без
возвращения и с возвращением асимптотически (приблизительно)
совпадают.
                        Гипергеометрическая модель                                       43


Нас интересует вероятность выбора r = 0 или r = 3 красных
шаров:
                                               C03 · C10    3    7
                                                      17 + C3 · C17       2 · C717
 Gg(0|20, 3, 10) + Gg(3|20, 3, 10) =                                  =              =
                                                       C10
                                                        20                 C10
                                                                            20
                2 · 17! · 10! · 10!       4
            =                         =        ≈ 0.21 .
                   7! · 10! · 20!         19
     7. Обобщите гипергеометрическую модель на ,,многоцвет-
ную‘‘ урну.
 I. В качестве первого шага решите следующую задачу. В спис-
    ке футбольной команды 3 вратаря, 7 защитников, 8 полуза-
    щитников и 4 нападающих. Для проведения допинг-контроля
    случайно отобрали 5 игроков. Какова вероятность, что допинг-
    контроль будут проходить 2 нападающих и по одному игроку
    из остальных линий?
II. Рассмотрите урну, содержащую всего N шаров, из которых
                                                PM
        Rk окрашены в k -ый цвет,    k = 1, M ,    Rk = N.
                                                                          k=1
   Требуется найти вероятность того, что
       в выборке объема n без возвращения будет ровно
                                                 P
                                                 M
       rk шаров k -ого цвета,         k = 1, M ,    rk = n.
                                                                          k=1
    8. Докажите, что если из урны извлекается n шаров с воз-
вращением, то вероятность получения ровно r красных шаров рав-
на
                        Crn pr (1 − p)n−r ,                (])
где p = R /N — доля красных шаров в урне.
     9.> Докажите, что при большом объеме урны (N → ∞, доля
красных шаров p = R /N фиксирована) вероятности получения
в выборке заданного числа красных шаров в схемах выбора без
возвращения и с возвращением асимптотически (приблизительно)
совпадают.

Страницы