Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 44 стр.

 44                        Тема   II. Классическая схема




   Пример 12. Охотник с вероятностью 3/4 попадает в проле-
тающую мимо него утку. Какова вероятность того, что, произведя
4 выстрела, он попадет ровно 3 раза?
    Решение. Для решения такого рода задач применяется обыч-
но аппарат биномиального распределения (см. тему V), однако и
урновая схема вполне здесь сгодится, тем более что формула ( ] )
абсолютно идентична биномиальной вероятности.
    Чтобы не причинять зла бедным уточкам и в целях сохранения
пропорции шансов на попадание, будем считать, что у нас имеется
урна, в которой лежат 3 красных шара и 1 белый. Таким образом,
в соответствии с формулой ( ] ) вероятность получения в выборке
с возвращением объема 4 ровно трех красных шаров равна
                 ³ ´3 ³ 1 ´1    33 27
                3 3
              C4             =4· 4 =    = 0.421875 .
                  4     4       4    64

 Z 5 Конечно,
       √       трудно представить себе урну, содержащую, например,
     50 2 % белых шаров, и кажется, что пользоваться формулой (]) мож-
     но только при рациональных значениях p. Однако это не так. Дока-
     жите, что если значение вероятности попадания в цель при одном
     выстреле иррационально, то вероятность поражения ровно r целей
     при n выстрелах также можно вычислить по формуле (]).


    10.g Выведите формулу, аналогичную (]), для случая
,,многоцветной‘‘ урны. Точнее, пусть в урне находятся N ша-
ров, раскрашенных каждый в один из M цветов, причем
относительная доля шаров k –го цвета равна pk (p1 +. . .+pM = 1).
      Найдите вероятность того, что в выборке объема n с
      1.
возвращением будет содержаться ровно rk шаров k -ого цвета
 PM
( k=1 rk = n ).
      2.   Решите задачу о шахматистах из примера 6, с. 35.