Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

50 Т е м а II. Классическая схема
46. Каждая из n палок разламывается на две части — длин-
ную и короткую. Затем 2n полученных обломков объединяются в
n пар. Найти вероятность того, что:
i) все обломки объединены в первоначальном порядке;
ii) все длинные части соединены с короткими.
47.
>
В некоторых сельских местностях России существовало
когда-то следующее гадание. Девушка зажимает в руке шесть тра-
винок так, чтобы концы травинок торчали сверху и снизу; подруга
связывает эти травинки попарно между собой сверху и снизу в
отдельности. Если при этом все шесть травинок оказываются свя-
занными в одно кольцо, то это означает, что девушка в текущем
году выйдет замуж.
(a) Найти вероятность того, что все 6 травинок при завязы-
вании образуют одно кольцо.
(b) То же для случая 2n травинок.
48.
>
Один школьник, желая подшутить над своими товари-
щами, собрал в гардеробе все фуражки, а потом развесил их в
случайном порядке. Какова вероятность P
n
, что хотя бы одна фу-
ражка попала на прежнее место, если всего в гардеробе было n
крючков и на них n фуражек? Найти lim
n→∞
P
n
.
Подсказка. Применить тождество Пуанкаре (задача 35,
с. 22).
49.
>
Показать, что в условиях предыдущей задачи вероят-
ность того, что ровно r < n фуражек будет висеть на первона-
чальных местах, равна
1
r!
1 −
n−r
X
j=1
(−1)
j
j!
.
Подсказка. Применить формулу Варинга (задача 37, с. 22).
50                    Тема   II. Классическая схема


   46. Каждая из n палок разламывается на две части — длин-
ную и короткую. Затем 2n полученных обломков объединяются в
n пар. Найти вероятность того, что:
       i)  все обломки объединены в первоначальном порядке;
       ii) все длинные части соединены с короткими.

    47.> В некоторых сельских местностях России существовало
когда-то следующее гадание. Девушка зажимает в руке шесть тра-
винок так, чтобы концы травинок торчали сверху и снизу; подруга
связывает эти травинки попарно между собой сверху и снизу в
отдельности. Если при этом все шесть травинок оказываются свя-
занными в одно кольцо, то это означает, что девушка в текущем
году выйдет замуж.
    (a) Найти вероятность того, что все 6 травинок при завязы-
вании образуют одно кольцо.
    (b) То же для случая 2n травинок.

   48.> Один школьник, желая подшутить над своими товари-
щами, собрал в гардеробе все фуражки, а потом развесил их в
случайном порядке. Какова вероятность Pn, что хотя бы одна фу-
ражка попала на прежнее место, если всего в гардеробе было n
крючков и на них n фуражек? Найти lim Pn.
                                          n→∞
    Подсказка.      Применить тождество Пуанкаре (задача 35,
с. 22).
   49.> Показать, что в условиях предыдущей задачи вероят-
ность того, что ровно r < n фуражек будет висеть на первона-
чальных местах, равна
                                     
                              n−r
                              X (−1)j
                      1              .
                           1−
                      r!      j=1
                                  j!

     Подсказка. Применить формулу Варинга (задача 37, с. 22).

Страницы