Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 51 стр.

                               Задачи                           51


    50. Какова вероятность того, что у всех людей в группе из k
человек будут различные дни рождения, если игнорировать висо-
косные года и
      i) k = 2 ;  ii) k (6 365) — произвольно;   iii) k = 47.
При какой минимальной численности группы с вероятностью,
большей 0.5, в группе встретятся по крайней мере два человека
с одинаковым днем рождения?
    51.> Для оценки числа рыб в водоеме в него запустили 10 поме-
ченных рыб. После этого было отловлено, а затем отпущено 20 рыб,
среди которых оказались 4 помеченные. Найти оценку максималь-
ного правдоподобия общего числа рыб N в водоеме, то есть такое
число N, при котором полученный результат имеет максимальную
вероятность осуществления, если считать, что помеченные рыбы
хорошо перемешались и состав рыб при этом не изменился.
 Z 6 Такой способ оценки общего числа популяции был предложен
     Лапласом в 1786 г. для оценивания числа жителей Парижа.

    52. (Статистика Максвелла-Больцмана.) В N ячейках разме-
щаются n различных частиц без запрета размещения нескольких
частиц в одной ячейке. Найти вероятность P (k; N, n) того, что в
фиксированной ячейке будет k частиц. Показать, что предел этой
вероятности при N, n → ∞, так что n/N → λ > 0 равен
                                        λk −λ
                       lim P (k; N, n) = e .
                     n,N →∞             k!

    53.> Из урны, содержащей N занумерованных от 1 до N ша-
ров, вынимается n шаров. Пусть Bk — событие, состоящее в том,
что максимальный номер в выборке равен k. Доказать, что:
       i) если выбор производится без возвращения, то

                                k n − (k − 1)n
                      P {Bk } =                ;
                                      Nn