Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

54 Т е м а II. Классическая схема
9.
C
r
R
· C
n−r
N−R
C
n
N
³
(Np)
Np
e
−Np
√
2πNp · (N − n)
N−n
e
−N+n
r!(Np − r)
Np−r
e
−Np+r
p
2π(Np − r) · N
N
e
−N
∗
∗
p
2π(N − n) n!(N(1 − p))
N(1−p)
e
−N(1−p)
p
2π(N(1 − p))
(n − r)!(N(1 − p) − (n − r))
N(1−p)−(n−r)
e
−N(1−p)+(n−r)
√
2πN
∗
∗
1
p
2π(N(1 − p) − (n − r))
³ C
r
n
p
r
(1 − p)
n−r
.
Там, где N входит вместе с некоторым слагаемым, воспользовать-
ся представлением (aN + b)
aN+b
³ N
aN+b
a
aN+b
e
b
. Подсчитать сте-
пени всех входящих сомножителей N, p, (1 − p), e, 2π, n, (n − r).
Способ II. Показать сначала (не обращаясь к формуле Стирлинга),
что C
n
M
³
M
n
n!
при M → ∞ и фиксированном n.
10. i) P(r
1
, . . . , r
M
| p
1
, . . . , p
M
) =
n!
r
1
! ···r
M
!
p
r
1
1
···p
r
M
M
.
ii) P
³
2, 1, 0 |
1
4
,
1
4
,
1
2
´
+ P
³
2, 0, 1 |
1
4
,
1
4
,
1
2
´
=
9
64
.
11. 0.096. 12. P {A} = 0 .5; P {B} = 0.375; P {C} = 0.875.
13. Модель GG с N = 49, R = 6, n = 6, r = 6, 5, 4, 3, 2, 1.
14. 0.3. 15. 0.2. 16.
1
36
. 17. 0.1582. 18. 6.61376 · 10
−6
.
19. 0.4. Схема [Y-B]. Благоприятные исходы перебрать.
20. i) При N = 10, K = 5 :
4
9
; ii) при N = 10, K = 4 : 0.2.
21. i)
5
9
; ii)
2
9
; iii)
7
9
.
22. ≈ 0.0731424; 8252. Использовать оценку N −k ≈ N −1.
23. При N = 20, K = 5, m = 10 :
12
1292
.
24. При N = 5, n = 3 :
2
21
. Модель [GG] не подходит (!?).
25. При N = 5 :
63
256
.
26. {k
y
6 K} ⇔
x
S
m=y
{k
m
6 K, k
m+1
> K}. Событие {k
m
6
K, k
m+1
> K} означает, что из x чисел ровно m чисел ,,красные‘‘
 54                            Тема      II. Классическая схема

                                              √
             CrR · Cn−r         (N p)N p e−N p 2πN pp  · (N − n)N −n e−N +n
        9.       CnN
                    N −R
                          ³                                                         ∗
                             r!(N p − r)N p−r e−N p+r 2π(N p − r) · N N e−N
           p                                          p
             2π(N − n) n!(N (1 − p))N (1−p) e−N (1−p) 2π(N (1 − p))
      ∗                                N (1−p)−(n−r) −N (1−p)+(n−r)
                                                                    √     ∗
         (n − r)!(N (1 − p) − (n − r))              e                 2πN
                      1
      ∗ p                           ³ Crn pr (1 − p)n−r .
           2π(N (1 − p) − (n − r))
Там, где N входит вместе с некоторым слагаемым, воспользовать-
ся представлением (aN + b)aN +b ³ N aN +baaN +beb. Подсчитать сте-
пени всех входящих сомножителей N, p, (1 − p), e, 2π, n, (n − r).
Способ II. Показать сначала (не обращаясь к формуле Стирлинга),
              n
что CnM ³ M n!
                при M → ∞ и фиксированном n.

      10. i) P(r1, . . . , rM | p1, . . . , pM ) = r ! · n!
                                                                             r
                                                         · · r   !
                                                                   pr11 · · · pMM .
               ³                       ´        ³ 1            M           ´
                            1 1 1                             1 1 1               9
          ii) P 2, 1, 0 | , ,              + P   2, 0, 1  |     ,     ,        =    .
                            4 4 2                             4 4 2              64
      11. 0.096.        12. P {A} = 0.5; P {B} = 0.375; P {C} = 0.875.
      13. Модель GG с N = 49, R = 6, n = 6, r = 6, 5, 4, 3, 2, 1.
                                      1
      14. 0.3. 15. 0.2.           16. 36 .        17. 0.1582. 18. 6.61376 · 10−6.
      19. 0.4. Схема [Y-B]. Благоприятные исходы перебрать.
      20. i) При N = 10, K = 5 : 94 ;                ii)   при N = 10, K = 4 : 0.2.

      21. i) 59 ; ii) 29 ; iii) 79 .
      22. ≈ 0.0731424; 8252. Использовать оценку N − k ≈ N − 1.
                                                            12
      23. При N = 20, K = 5, m = 10 :                      1292
                                                                .
                                           2
      24. При N = 5, n = 3 :               21
                                              .   Модель [GG] не подходит (!?).
                                 63
      25. При N = 5 :            256
                                     .
                                  S
                                  x
      26. {ky 6 K} ⇔                   {km 6 K, km+1 > K}. Событие {km 6
                                 m=y
K, km+1 > K} означает, что из x чисел ровно m чисел ,,красные‘‘

Страницы