Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Т е м а III.
Геометрические вероятности.
Равномерное распределение
Принцип ,,равновозможности‘‘ всех элементарных исходов мо-
жет быть положен в основу определения вероятности и при беско-
нечных Ω. Так, если пространство Ω есть борелевское подмноже-
ство R
n
, для которого мера Лебега (длина, площадь, объем, . . . )
0 < λ(Ω) < ∞ — положительна и конечна, то вероятность любого
подмножества A ⊂ R
n
(точнее, борелевского подмножества, ка-
ковое измеримо по Лебегу) пропорциональна объему (длине, пло-
щади) той части A, которая попадает внутрь Ω :
P {A} =
λ (A ∩ Ω)
λ (Ω)
, A ∈ B(R
n
).
В этом случае говорят, что точка ξ случайно бросается на Ω
или что случайная точка ξ имеет
vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv
равномерное распределение на
Ω — обозначается (от английского UNIFORM) ξ v U(Ω) .
Пример 1. Стержень разламывают на две части в слу-
чайной точке. Найти вероятность того, что меньший обломок не
превосходит
1
/
3
длины стержня.
Решение. Пусть L — длина стержня, а ξ — расстояние от
точки разлома до левого конца стержня. Предположим, что ξ v
U[0; L]. Требуется найти вероятность, что min(ξ, L−ξ) 6
L
/
3
. Это
событие происходит только тогда, когда ξ 6
L
/
3
либо ξ >
2L
/
3
.
Поэтому искомая вероятность равна
L
/
3
L
+
L −
2L
/
3
L
=
2
3
.
Пример 2. Метровая газовая труба проржавела в двух ме-
стах. Какова вероятность, что все три получившихся куска можно
                     Геометрические вероятности.
     Тема    III.
                     Равномерное распределение


   Принцип ,,равновозможности‘‘ всех элементарных исходов мо-
жет быть положен в основу определения вероятности и при беско-
нечных Ω. Так, если пространство Ω есть борелевское подмноже-
ство R n, для которого мера Лебега (длина, площадь, объем, . . . )
0 < λ(Ω) < ∞ — положительна и конечна, то вероятность любого
подмножества A ⊂ R n (точнее, борелевского подмножества, ка-
ковое измеримо по Лебегу) пропорциональна объему (длине, пло-
щади) той части A, которая попадает внутрь Ω :
                         λ (A ∩ Ω)
               P {A} =             ,   A ∈ B(R n).
                            λ (Ω)
   В этом случае говорят, что точка ξ случайно бросается на Ω
или что случайная точка ξ имеет равномерное распределение на
                                  vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv
Ω — обозначается (от английского UNIFORM) ξ v U(Ω) .
   Пример 1.      Стержень разламывают на две части в слу-
чайной точке. Найти вероятность того, что меньший обломок не
превосходит 1/3 длины стержня.
   Решение. Пусть L — длина стержня, а ξ — расстояние от
точки разлома до левого конца стержня. Предположим, что ξ v
U[0; L]. Требуется найти вероятность, что min(ξ, L−ξ) 6 L/3 . Это
событие происходит только тогда, когда ξ 6 L/3 либо ξ > 2L/3 .
                                       L/3         2L/
Поэтому искомая вероятность равна       L
                                             + L − L 3 = 23 .

   Пример 2. Метровая газовая труба проржавела в двух ме-
стах. Какова вероятность, что все три получившихся куска можно

Страницы