Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 59 стр.

                           Теория и примеры                           59


Вероятность любого борелевского подмножества Q ⊂ R 3 пропор-
циональна площади той части Q, которая попадает внутрь тре-
угольника.
    Условие задачи l1 > 1/4 , l2 >                l3
1/4 , l3 > 1/4 выделяет внутри тре-             B

угольника ABC подобный ему треуголь-              I
ник OIJ, отрезаемый прямыми линиями,                 J
                                               O            l2
параллельными сторонам исходного тре-          1
                                               4         C
угольника на одной четверти его размера, l1 A
считая от сторон. Легко понять, что коэф-
фициент подобия треугольников равен 1/4 . Поэтому отношение их
площадей будет равно 1/16 .
 Z 1 Надо сказать, что нам крупно повезло, поскольку разные варианты
     задания равномерного распределения, вообще говоря, могут привести
     к абсолютно различным результатам (см., например, задачи 6, 7, 8).

    Пример 3.       Студент Иван Акураси заметил, что лектор,
читающий курс лекций по методике правильной организации тру-
да, приходит на занятия со случайным опозданием в пределах 15
мин., при этом он разрешает проходить в аудиторию только тем
студентам, которые пришли после него не позднее 5 мин. Иван то-
же решил опоздать на лекцию, но выбрал себе границу случайного
опоздания всего в 10 мин. и время ожидания лектора тоже 10 мин.
Какова вероятность того, что он все же посетит лекцию?

   Решение. Обозначим через L и S время 10 S
опоздания на лекцию лектором и студентом соот-
                                                    5
ветственно. Предположим, что пара случайных
                                                                 L
чисел (L, S) равномерно распределена в прямо- 0                15
угольнике [0; 15] × [0; 10]. Тогда студент попадет на лекцию, если
произойдут два события L + 5 > S и L 6 S + 10. Геометрически
это соответствует заштрихованной области на рисунке. Удобнее