Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теория и примеры 61
рических преобразований) получится, если, не мудрствуя
лукаво, вычислить площадь дополнительной области как
1
R
√
r
2
−1
√
r
2
− x
2
dx .
Пример 5. (Задача Бюффона (1707–1788 г.г.)) На пол, по-
крытый паркетом в виде параллельных досок единичной ширины,
падает игла, длина которой l < 1. Какова вероятность, что игла
пересечет край хотя бы одной доски?
Решение. Будем считать, что доски паркета
A
A
A
A
A
A
AK
a
l
l sin φ
φ
¾-
D
¡
¡µ
@
@I
ориентированы с юга на север. Тогда положение
иглы на полу может быть описано направлением
ее относительно линий паркета (углом φ, измеряе-
мым против хода часов, между линиями паркета и
вектор-иглой) и расстоянием D от начала иглы (ушко иглы) до
левого края доски, на которую попало ушко.
Игла пересечет левый край доски, если, во-первых, угол 0 6
φ 6 π и, во-вторых, выполняется неравенство l sin φ > D (см.
рисунок). Правый край будет пересекаться иглой, если π 6 φ 6
2π и −l sin φ > 1 − D (!?).
Предположим (!!!), что случайная пара
-
φ
6
D
1
π 2π
(φ, D) v U
¡
[0; 2π] × [0; 1]
¢
. Условия выпол-
нения искомого события выделяют в прямо-
угольнике [0; 2π] × [0; 1] две равновеликие
области, ограниченные синусоидами. Площа-
ди этих областей легко находятся стандартными средствами: S =
2
R
π
0
l sin φ dφ = 4l. Поскольку площадь всего прямоугольника рав-
на 2π · 1, то вероятность пересечения края паркета равна
4l
2
π
=
2l
π
.
                              Теория и примеры                        61


рических преобразований) получится, если, не мудрствуя
лукаво, вычислить площадь дополнительной области как
                   R1 √
                        r2 − x2 dx .
                      √
                          r2 −1

   Пример 5. (Задача Бюффона (1707–1788 г.г.)) На пол, по-
крытый паркетом в виде параллельных досок единичной ширины,
падает игла, длина которой l < 1. Какова вероятность, что игла
пересечет край хотя бы одной доски?
    Решение. Будем считать, что доски паркета                AKAφ
ориентированы с юга на север. Тогда положение                   A
                                                                  A
                                                                    Al
иглы на полу может быть описано направлением                         A
                                                                       Aa
ее относительно линий паркета (углом φ, измеряе-            µ
                                                            ¡
                                                            ¡
                                                                   ¾-
                                                                     I
                                                                     @
                                                        l sin φ @ D
мым против хода часов, между линиями паркета и
вектор-иглой) и расстоянием D от начала иглы (ушко иглы) до
левого края доски, на которую попало ушко.
    Игла пересечет левый край доски, если, во-первых, угол 0 6
φ 6 π и, во-вторых, выполняется неравенство l sin φ > D (см.
рисунок). Правый край будет пересекаться иглой, если π 6 φ 6
2π и −l sin φ > 1 − D (!?).
     D                     Предположим (!!!), что случайная пара
   16                             ¡               ¢
                       (φ, D) v U [0; 2π] × [0; 1] . Условия выпол-
                       нения искомого события выделяют в прямо-
                       угольнике [0; 2π] × [0; 1] две равновеликие
                  -φ
           π    2π     области, ограниченные синусоидами. Площа-
ди этих областей легко находятся стандартными средствами: S =
 Rπ
2 0 l sin φ dφ = 4l. Поскольку площадь всего прямоугольника рав-
на 2π · 1, то вероятность пересечения края паркета равна
                                  4l       2l
                                       =        .
                                  2π       π

Страницы