Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

60 Т е м а III. Равномерное распределение в области
найти площадь дополнительного множества. Эта площадь равна
25, поэтому искомая вероятность равна 1 −
25
/
150
=
5
/
6
.
Пример 4. В единичный квадрат бросается случайная точ-
ка. Требуется найти распределение расстояния от этой точки до
одного из углов квадрата.
Решение. Поместим левый нижний
1
1
ϕ
γ
r
√
r
2
− 1
»
»
»
»
»9
y =
√
r
2
− x
2
угол квадрата в начало координат. Необ-
ходимо найти вероятность того, что рас-
стояние R от случайной точки до нача-
ла координат будет меньше некоторого
фиксированного значения r.
Другими словами, требуется найти вероятность события, за-
ключающегося в попадании случайной точки в пересечение цен-
трального круга радиуса r и единичного квадрата. Способы отыс-
кания площади соответствующей области зависят от величины r.
При r 6 1 искомая область представляет собой четверть
круга. Поэтому вероятность попадания в эту область равна
π
r
2
/
4
.
При больших r ( >
√
2 ) круг полностью накроет единичный квад-
рат и, следовательно, искомая вероятность будет равна 1.
При 1 6 r 6
√
2 область состоит из двух прямоугольных тре-
угольников (общей площадью
√
r
2
− 1 — см. рисунок выше) и кру-
гового сектора с центральным углом ϕ =
π
2
− 2γ (и площадью
π
r
2
ϕ
2
π
). Так как sin γ =
√
r
2
− 1
r
, то вероятность (площадь) равна
√
r
2
− 1 + r
2
³
π
4
− arcsin
³
√
r
2
− 1
r
´´
.
Подставляя, в целях контроля, в эту формулу крайние значения
r = 1 и r =
√
2, получаем, как и ожидалось,
P {R < 1} =
π
4
, P
©
R <
√
2
ª
= 1 .
Почти такой же результат (с точностью до тригономет-
 60              Тема    III. Равномерное распределение в области


найти площадь дополнительного множества. Эта площадь равна
25, поэтому искомая вероятность равна 1 − 25/150 = 5/6 .
    Пример 4. В единичный квадрат бросается случайная точ-
ка. Требуется найти распределение расстояния от этой точки до
одного из углов квадрата.
    Решение. Поместим левый нижний 1                            »» √y=
                                                            9»»
                                                            »
угол квадрата в начало координат. Необ-                               r 2 − x2
ходимо найти вероятность того, что рас-
стояние R от случайной точки до нача-                         r    √
                                                   ϕ                 r2 − 1
ла координат будет меньше некоторого                     γ
фиксированного значения r.                                       1

    Другими словами, требуется найти вероятность события, за-
ключающегося в попадании случайной точки в пересечение цен-
трального круга радиуса r и единичного квадрата. Способы отыс-
кания площади соответствующей области зависят от величины r.
    При r 6 1 искомая область представляет собой четверть
круга. Поэтому вероятность попадания в эту область равна π r2/4 .
                     √
При больших r ( > 2 ) круг полностью накроет единичный квад-
рат и, следовательно, искомая вероятность будет равна 1.
                  √
    При 1 6 r 6 2 область состоит из двух прямоугольных тре-
                                   √
угольников (общей площадью r2 − 1 — см. рисунок выше) и кру-
гового сектора с центральным углом ϕ = 2π − 2γ (и площадью
                           √
 π r2ϕ ). Так как sin γ = r2 − 1 , то вероятность (площадь) равна
  2π                           r
               √              ³              ³√ 2      ´´
                 r2 − 1 + r 2    π  − arcsin   r   − 1
                                                          .
                                 4               r

Подставляя, в целях контроля, в эту формулу крайние значения
           √
r = 1 и r = 2, получаем, как и ожидалось,
                                ©     √ ª
             P {R < 1} = π , P R < 2 = 1 .
                                 4


      Почти такой же результат (с точностью до тригономет-

Страницы