Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 58 стр.

 58             Тема   III. Равномерное распределение в области


будет использовать в качестве отводов к газовым плитам, если по
нормативам плита не должна находиться на расстоянии ближе 25
см. от магистральной газовой трубы?
   Решение (I). Рассмотрим две случайные точки ξ и η, обоз-
начающие расстояния от левого края трубы до точек ,,разрыва‘‘.
                                            ¡               ¢
Предположим, что двумерный вектор (ξ, η) v U [0; 1] × [0; 1] .

   Точки разрыва разделяют трубу на три от-      l1 l2   l3
                                               0 ξ     η    1
резка. Чтобы не обременять себя излишними тон-
костями, мы не будем учитывать ширину проржавевших участков.
Поэтому сумма длин l1 + l2 + l3 = 1. Возможны две ситуации
расположения точек разрыва.
                                                η     η−ξ = 4 η =ξ1
     Если ξ 6 η, то условие задачи 1 6                      ¡  ¡
                                                               ¡
                                                          ¡
выполняется при одновременном вы-                       ¡

полнении трех неравенств l1 = ξ >                    ¡
                                                       ¡     ¡
                                                             ¡    η = 34
                                               ¡
                                               ¡¡¡
                                                 ¡ ¡
                                                   ¡
                                               ¡ ¡
                                                 ¡¡
                                               ¡        ¡
1/4 , l2 = η − ξ > 1/4 , l3 = 1 − η >          ¡
                                               ¡¡      ¡
                                               ¡
                                             ¡             ¡
1/4 . Эта система неравенств выде-          ¡     ¡¡      ¡¡
                                                           ¡
                                                           ¡
                                                        ¡¡¡¡
                                                           ¡
                                          ¡           ¡¡¡¡
                                                         ¡¡¡
ляет в единичном квадрате, слева от ¡ ¡¡
диагонали η = ξ, область в виде пря- ¡                            -ξ
                                        ¡        1
моугольного треугольника с катетами, 0 ξ = 4                    1
равными 1/4 . Для ее построения мы сначала провели граничные
линии ξ = 1/4 , η − ξ = 1/4 , 1 − η = 1/4 .
    Аналогичный треугольник получается при ξ > η. Суммарная
площадь этих треугольников, а вместе с ней и искомая вероят-
ность, равна 1/16 .
    Решение (II). Определим вероятностное пространство сразу
для вектора длин отрезков (l1, l2, l3). Необходимо помнить, что
сумма l1 + l2 + l3 = 1. Это соотношение выделяет внутри еди-
ничного куба [0; 1]3 плоский равносторонний треугольник (ABC
на следующем рисунке). Итак, пусть вектор (l1, l2, l3) имеет рав-
номерное распределение во внутренности треугольника ABC.