Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

70 Т е м а IV. Условная вероятность. Независимость событий
4. Выведите формулу для вероятности объединения
P {A
1
∪ . . . ∪ A
n
}, если события A
1
, . . . , A
n
независимы в со-
вокупности.
5. Выведите формулу для вероятности совместного осу-
ществления событий P {A
1
∩ . . . ∩ A
n
}, если события A
c
1
, . . . , A
c
n
попарно несовместны.
Пример 3. При подбрасывании двух монет вероятностное
пространство состоит из четырех равновероятных исходов. Дока-
жем, что в этом случае появление герба или решки на одной из
монет не зависит от результата подбрасывания другой монеты.
Решение. Рассмотрим события
G
i
= { на i -ой монете выпадает герб } , i = 1, 2 ,
каждому из которых благоприятствуют по два исхода:
G
1
= {(Г,Р), (Г,Г)}, G
2
= {(Г,Г), (Р,Г)}.
Поэтому P {G
i
} =
2
/
4
=
1
/
2
, i = 1, 2 .
Вероятность совместного осуществления событий G
1
и G
2
, то
есть вероятность того, что на обеих монетах выпадет герб, равна
P {G
1
G
2
} =
1
4
— совпадает с P {G
1
}P {G
2
}.
Аналогично проверяется независимость остальных пар событий.
Z 3 Обратно, вполне естественное предположение (постулирование) неза-
висимости выпадения той или иной стороны на разных монетах при-
водит снова к вероятностному пространству с четырьмя равновероят-
ными (по
1
/
4
) исходами.
Пример 4. (Несколько неожиданный.) Поскольку результа-
ты подбрасывания на разных монетах независимы, то может пока-
заться, что если нам откуда-то стало известно, что на какой-то из
монет выпал герб, то все с той же вероятностью
1
/
2
на другой мо-
нете также будет герб. Увы, это не так! Действительно, тот факт,
что на одной из монет выпал герб сужает пространство исходов до
трех элементов — (ГГ, ГР, РГ). Поэтому вероятность того, что на
 70         Тема    IV. Условная вероятность. Независимость событий


    4. Выведите формулу для вероятности объединения
P {A1 ∪ . . . ∪ An}, если события A1, . . . , An независимы в со-
вокупности.
    5. Выведите формулу для вероятности совместного осу-
ществления событий P {A1 ∩ . . . ∩ An}, если события Ac1, . . . , Acn
попарно несовместны.

   Пример 3. При подбрасывании двух монет вероятностное
пространство состоит из четырех равновероятных исходов. Дока-
жем, что в этом случае появление герба или решки на одной из
монет не зависит от результата подбрасывания другой монеты.
   Решение. Рассмотрим события
        Gi = { на i -ой монете выпадает герб } , i = 1, 2 ,
каждому из которых благоприятствуют по два исхода:
            G1 = {(Г,Р), (Г,Г)}, G2 = {(Г,Г), (Р,Г)}.
Поэтому P {Gi} = 2/4 = 1/2 , i = 1, 2 .
   Вероятность совместного осуществления событий G1 и G2, то
есть вероятность того, что на обеих монетах выпадет герб, равна
       P {G1G2} = 41         — совпадает с         P {G1} P {G2} .
Аналогично проверяется независимость остальных пар событий.
 Z 3 Обратно, вполне естественное предположение (постулирование) неза-
     висимости выпадения той или иной стороны на разных монетах при-
     водит снова к вероятностному пространству с четырьмя равновероят-
     ными (по 1/4) исходами.

   Пример 4. (Несколько неожиданный.) Поскольку результа-
ты подбрасывания на разных монетах независимы, то может пока-
заться, что если нам откуда-то стало известно, что на какой-то из
монет выпал герб, то все с той же вероятностью 1/2 на другой мо-
нете также будет герб. Увы, это не так! Действительно, тот факт,
что на одной из монет выпал герб сужает пространство исходов до
трех элементов — (ГГ, ГР, РГ). Поэтому вероятность того, что на

Страницы