Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

72 Т е м а IV. Условная вероятность. Независимость событий
Формула полной вероятности. Формула Байеса
События B
1
, . . . , B
N
образуют полную группу событий, если
(i) они несовместны: B
k
B
j
= ∅, ∀k 6= j ;
(ii) исчерпывают все исходы: B
1
+ . . . + B
N
= Ω ;
(iii) имеют ненулевую вероятность: P {B
k
} > 0.
∗ ∗ ∗
Теорема .
vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv
Формула полной вероятности.
Для любого события A ∈ F и полной группы событий {B
k
}
N
k=1
P {A} =
N
X
k=1
P {A | B
k
}·P {B
k
}.
vvvvvvvvvvvvv
Формула Байеса. Если P(A) > 0, тогда
P {B
j
| A} =
P {A | B
j
}P {B
j
}
P {A | B
1
}·P {B
1
}+ . . . + P {A | B
n
}·P {B
N
}
.
∗ ∗ ∗
Z 4 Формула Байеса представляет собой, в сущности, способ вычисления
условной вероятности, где вероятность условия приходится вычислять
по формуле полной вероятности.
Числитель формулы Байеса равен одному из слагаемых в знаменате-
ле — реализацию формулы Байеса удобнее начинать со знаменателя.
Z 5 Количество элементов полной группы событий может быть и беско-
нечным, но обязательно счетным.
7. Докажите формулы полной вероятности и Байеса.
Пример 7. Известно, что 5% мужчин и 0.25% женщин —
дальтоники. Какова вероятность того, что наугад выбранный чело-
век — дальтоник, если выбор производится из группы, содержащей
равное число мужчин и женщин?
72            Тема     IV. Условная вероятность. Независимость событий


Формула полной вероятности. Формула Байеса

 События B1, . . . , BN образуют полную группу событий, если
    (i) они несовместны:                 Bk Bj = ∅, ∀ k 6= j ;
   (ii) исчерпывают все исходы:           B1 + . . . + BN = Ω ;
  (iii) имеют ненулевую вероятность:         P {Bk } > 0.

   Теорема .                ∗∗∗
Формула полной вероятности.
 vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv
                                                      N
Для любого события A ∈ F и полной группы событий {Bk }k=1
                       N
                       X
               P {A} =    P {A | Bk } · P {Bk } .
                                k=1

Формула Байеса.           Если P(A) > 0, тогда
vvvvvvvvvvvvv
                                   P {A | Bj } P {Bj }
     P {Bj | A} =                                                      .
                    P {A | B1} · P {B1} + . . . + P {A | Bn} · P {BN }
                                      ∗∗∗
 Z 4 Формула Байеса представляет собой, в сущности, способ вычисления
     условной вероятности, где вероятность условия приходится вычислять
     по формуле полной вероятности.
       Числитель формулы Байеса равен одному из слагаемых в знаменате-
       ле — реализацию формулы Байеса удобнее начинать со знаменателя.


 Z 5 Количество элементов полной группы событий может быть и беско-
     нечным, но обязательно счетным.

       7.   Докажите формулы полной вероятности и Байеса.

   Пример 7.       Известно, что 5% мужчин и 0.25% женщин —
дальтоники. Какова вероятность того, что наугад выбранный чело-
век — дальтоник, если выбор производится из группы, содержащей
равное число мужчин и женщин?

Страницы