Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Формула полной вероятности. Формула Байеса 71
обеих монетах выпадет герб равна
1
/
3
. В чем же здесь отличие от
предыдущего примера?
Пример 5. Случайная точка (ξ, η) имеет равномерное рас-
пределение в единичном квадрате на плоскости. Проверим незави-
симость (попарную и в совокупности) следующих событий:
A = {|ξ − η| > 0.5 }, B = {ξ > 0.5 }, C = {η > 0.5 }.
Решение. Вероятности событий равны площадям соответству-
ющих им областей внутри единичного квадрата:
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
A
A
0 0.5 1
1
0.5
B
0 0.5 1
1
C
0 1
1
0.5
Таким образом, P {A} =
1
/
4
, P {B} =
1
/
2
, P {C} =
1
/
2
.
Аналогичным образом устанавливается попарная независи-
мость событий. Например, P {AB} =
1
/
8
= P {A}P { B} .
В то же время пересечение всех трех событий пусто, поэтому
P { ABC} = 0 6=
1
16
= P {A}P {B}P {C} .
Следовательно, события не независимы в совокупности.
6. Приведите пример, когда P {ABC} = P {A}P { B}P {C},
но попарная независимость событий A, B, C отсутствует.
Пример 6. Докажем, что события {ξ ∈ A} и {η ∈ B},
связанные с компонентами вектора ( ξ, η) v U
¡
[0; 1] × [0; 1]
¢
, неза-
висимы для любых борелевских подмножеств A, B ∈ B([0; 1]).
Решение. Как показано в [1, с. 89], заявленное свойство доста-
точно проверить для интервалов вида A = (a
1
; a
2
), B = (b
1
; b
2
).
Независимость таких событий почти очевидна:
P {ξ ∈ (a
1
; a
2
), η ∈ (b
1
; b
2
)} = (a
2
− a
1
) · (b
2
− b
1
) =
= P {ξ ∈ (a
1
; a
2
)}·P {η ∈ (b
1
; b
2
)} .
            Формула полной вероятности. Формула Байеса                          71


обеих монетах выпадет герб равна 1/3 . В чем же здесь отличие от
предыдущего примера?
   Пример 5. Случайная точка (ξ, η) имеет равномерное рас-
пределение в единичном квадрате на плоскости. Проверим незави-
симость (попарную и в совокупности) следующих событий:
     A = { |ξ − η| > 0.5 }, B = { ξ > 0.5 }, C = { η > 0.5 }.
  Решение. Вероятности событий равны площадям соответству-
ющих им областей внутри единичного квадрата:
            1       ¡
                                       1                     1
                A   ¡
                                                                  C
                ¡
          0.5 ¡             ¡
                                                    B       0.5
                            ¡
                         ¡A
                        ¡
            0       0.5       1        0      0.5       1     0       1
Таким образом,     P {A} = 1/4 , P {B} = 1/2 , P {C} = 1/2 .
   Аналогичным образом устанавливается попарная независи-
мость событий. Например, P {AB} = 1/8 = P {A} P {B} .
   В то же время пересечение всех трех событий пусто, поэтому
                                            1
         P {ABC} = 0              6=        16
                                                 = P {A} P {B} P {C} .

Следовательно, события не независимы в совокупности.
     6. Приведите пример, когда P {ABC} = P {A} P {B} P {C},
но попарная независимость событий A, B, C отсутствует.

   Пример 6. Докажем, что события {ξ ∈ A} и {η ∈ B},
                                           ¡               ¢
связанные с компонентами вектора (ξ, η) v U [0; 1] × [0; 1] , неза-
висимы для любых борелевских подмножеств A, B ∈ B([0; 1]).
   Решение. Как показано в [1, с. 89], заявленное свойство доста-
точно проверить для интервалов вида A = (a1; a2), B = (b1; b2).
Независимость таких событий почти очевидна:
 P {ξ ∈ (a1; a2), η ∈ (b1; b2)} = (a2 − a1) · (b2 − b1) =
                                           = P {ξ ∈ (a1; a2)} · P {η ∈ (b1; b2)} .

Страницы